Über andere Kriterien (z. das sog. Majoranten- und Minorantenkriterum) wird, ähnlich wie bei Folgen, über einen Vergleich mit anderen Reihen entschieden, ob ein Grenzwert existiert. Quadratische funktionen klassenarbeit 9. Hat die Folge eine bestimmte Darstellung (z. B. Bruch, Potenz mit Exponent, alternierend), können Konvergenzkriterien, wie das Quotienten-, Wurzel- oder Leibniz-Kriterium zur Überprüfung der (absoluten) Konvergenz genutzt werden. Anders als bei Folgen ist jedoch die Bestimmung des expliziten Grenzwertes häufig nicht einfach und nur für Reihen in "bekannter" Darstellung möglich. Einige bekannte Grenzwerte sind:
Geometrische Reihe: Exponentialreihe:
Logarithmusreihe:
Schnelle Überprüfung der Konvergenz und Bestimmung der Grenzwerte von Folgen und Reihen mit dem Konvergenz-Rechner
Wenn ihr schnell überprüfen möchtet, ob eure Folge oder Reihe konvergiert, könnt ihr unsere Mathelöser Konvergenz-Rechner nutzen. Möchtet ihr den Konvergenz-Rechner für Folgen benutzen, müsst ihr lediglich die Funktionsvorschrift der Folge eingeben – der Konvergenz-Rechner sagt euch direkt, ob die Folge konvergiert und, im Falle einer Konvergenz, was der Grenzwert ist.
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Weitere Eigenschaften von Folgen
Zur Überprüfung der Konvergenz können weitere Eigenschaften hilfreich sein. Die Beschränktheit gibt an, ob es Zahlen, sog. "Schranken", gibt, die die Folge für keinen Index über- oder unterschreitet. Eine Folge kann nur dann konvergieren, wenn sie beschränkt ist – die Beschränktheit ist somit ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz. Die Monotonie einer Folge gibt an, ob ihre Folgenglieder bei einem größer werdenden Index steigen oder fallen. Quadratische Gleichungen differenziert und kompetenzorientiert in Klasse 10 - Unterrichtsmaterial zum Download. Eine Folge ist monoton steigend, wenn jedes Folgenglied mindestens genauso groß ist, wie der vorherige Wert:
Analog ist eine Folge monoton fallend, wenn jedes Folgenglied höchstens genauso groß ist, wie der vorherige Wert:
Abbildung 1: Beispiele für Folgen mit unterschiedlichem Monotonieverhalten. Blau: monoton steigende Folge; Grün: monoton fallende Folge; Rot: keine Monotonie. Jede monotone Folge, die beschränkt ist, ist automatisch konvergent. Allerdings gibt es auch Folgen, die keine Monotonie zeigen. Für solche Folgen können andere Konvergenzkriterien herangezogen werden.
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