Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der Logistischen Funktion nachgebildet werden. Weitere Anwendungsbereiche sind Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Sprache (Sprachwandelgesetz, Piotrowski-Gesetz) sowie die Entwicklung im Erwerb der Muttersprache (Spracherwerbsgesetz). Eine Anwendung findet die logistische Funktion auch im SI-Modell der mathematischen Epidemiologie. Lösung der Differentialgleichung
Bezeichnet man die Werte der gesuchten Lösung mit $ y $, so erhält man
$ {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\, =\, k\cdot y\cdot \left(G-y\right) $
Die Differentialgleichung lässt sich mit dem Verfahren "Trennung der Variablen" lösen. Dazu bringen wir die Variable $ t $ nach links und die Variable $ y $ nach rechts. Ableitung ln 2x youtube. $ k\mathrm {d} t\, =\, {\frac {1}{y(G-y)}}\mathrm {d} y\, =\, {\frac {1}{G}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{G-y}}\right)\mathrm {d} y $,
wobei man die letzte Gleichung für $ G\neq 0 $ durch eine Partialbruchzerlegung oder durch eine einfache Rechnung erhält.
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=f(x)=\frac{\ln x}{x}\implies\ln x=0\implies x=e^0\implies x=1$$Nullstelle bei \((1|0)\). ii) Extremwerte:$$0\stackrel! =f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\implies1-\ln x=0\implies \ln x=1\implies x=e$$$$\text{Prüfung:}f''(e)=\frac{2\ln e-3}{e^3}=-\frac{1}{e^3}<0\implies\text{Maximum}$$Maximum bei \(\left(e\big|\frac1e\right)\approx(2, 7183|0, 3679)\). iii) Wendepunkte:$$0\stackrel! Ableitung ln 2.5. =f''(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}\implies 2\ln x-3=0\implies\ln x=\frac32\implies x=e^{\frac32}=e\sqrt e$$$$\text{Prüfung:}f'''(e\sqrt e)=\frac{11-6\ln(e\sqrt e)}{(e\sqrt e)^4}=\frac{11-6\cdot\frac32}{e^6}=\frac{2}{e^6}\ne0\implies\text{Wendepunkt}$$Wendepunkt bei \(\left(e\sqrt e\big|\frac{3}{2e\sqrt e}\right)\approx(4, 4817|0, 3347)\). ~plot~ ln(x)/x; {1|0}; {2, 7183|0, 3679}; {4, 4817|0, 3347}; [[0|10|-0, 4|0, 4]] ~plot~ zu b) Hier musst du etwas aufpassen, weil die Funktion$$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\quad;\quad x\in(-\infty|-1]\cup[1|+\infty)$$nicht über ganz \(\mathbb R\) definiert ist. Mit den Mitteln der Differentialrechnung kannst du die beiden Randpunkte \(x=-1\) und \(x=1\) nicht untersuchen und musst sie gesondert betrachten.
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Differentialgleichungen spielen in der Physik eine überragende Rolle, da physikalische Gesetze und Zusammenhänge sich häufig als Differentialgleichung darstellen lassen. Warum sind Differentialgleichungen wichtig? Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. Dabei beschreibt eine Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Ln/e Funktion Ableitung erklären? (Schule, Mathematik). Wann ist eine DGL gewöhnlich? Gewöhnliche Differentialgleichung Definition und allgemeine Erklärung. besteht. Sie heißt gewöhnlich, da die unbekannte Funktion y nur von einer Variablen x abhängt und nur nach dieser abgeleitet wird. Was ist eine skalare Differentialgleichung? Unter der Ordnung einer DG versteht man die Ordnung der höchsten auftreten- den Ableitung. Im Fall einer skalaren Funktion handelt es sich um eine skalare Differentialgleichung, im Fall einer vektorwertigen Funktion handelt es sich um ein System von Differentialgleichungen.
Denn es gilt für die Logistische Funktion:
$ {\rm {sig^{\prime}(t)={\rm {sig}}(t)\left(1-{\rm {sig}}(t)\right)}} $
Für die Ableitung der Sigmoidfunktion Tangens Hyperbolicus gilt:
$ {\rm {tanh^{\prime}(t)=(1+{\rm {tanh}}(t)\left)(1-{\rm {tanh}}(t)\right)}} $
Siehe auch
Logistische Verteilung
Künstliches neuronales Netz
Fermi-Dirac-Statistik
Weblinks
Eric W. Weisstein: Sigmoid Function. In: MathWorld. Www.mathefragen.de - Exponentialfunktionen ableiten. (englisch)