15. 03. Ebenen in Parameterform aufstellen - Übungsaufgaben. 2007, 22:26
Mads85
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Ebene aus zwei Geraden
g:x=(4/-2/1)+k(2/-3/1)
h:x=(1/0/3)+k(2/6/1)
Geben sie die Gleichung der durch die Geraden g und h bestimmten Ebene an. so das Problem Gleichung
entweder
1) E:x=(4/-2/1)+k(2/-3/1)+k(2/6/1)
oder
2) E:x=(1/0/3)+k(2/-3/1)+k(2/6/1)
Normalenform zu 1)
-9x1+18x3+18=0
Normalenform zu 2) 3 mal nachgerechnet
-9x1+18x3-45=0
Was hab ich falsch gemacht, dass ich 2 verschiedene Normalenformen bekomme und nicht die selben als
n(-9/0/18)
außerdem wenn ich (4/-2/1) a von g einsetzte passts bei 1) bei 2) aber net und wenn ich (1/0/3) a von h einsetze dann passt 2) und 1) net warum was is hier falsch? 15. 2007, 22:37
Chris1987
RE: Frage Ebenen und Geraden Aufgabe
Zitat:
Original von Mads85
1) E:x=(4/2/-1)+k(2/-3/1)+k(2/6/1)
abgesehen davon, dass ich dein Problem noch nich ganz sehe, denn die Normalenvektoren waren doch gleich, ist da ein Fehler..
g hat den Punkt (4/-2/1) und E hat den Punkt (4/2/-1), ist das nur ein Tippfehler oder hast du damit gerechnet?
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Ebene Aus Zwei Geraden Die
Wenn sich zwei Geraden $ g_1: \vec x = \vec u_1 + s \vec v_1 $ und $ g_2: \vec x = \vec u_2 + t \vec v_2 $ schneiden oder parallel sind, dann spannen sie eine Ebene auf. Die Parameterform kannst Du z. B. so aufstellen: $$ E: \vec x = \vec u_1 + s \vec v_1 + t \vec w $$
Dabei hängst Du also an die Gleichung von $ g_1 $ nur noch $ t \vec w $ hinten an, wobei $ \vec w $ entweder der Richtungsvektor $ \vec v_2 $ von $ g_2 $ ist falls sich die Geraden schneiden oder der Vektor $ \vec u_2 - \vec u_1 $ (bzw. $ \vec u_1 - \vec u_2 $, das ist egal) falls die Geraden parallel sind. Ebene durch zwei Geraden. Genausogut kannst Du $ t \vec w $ auch an die Geradengleichung von $ g_2 $ anfügen, wobei im Fall zweier sich schneidender Geraden entsprechend $ \vec u = \vec v_1 $ gilt. Beispiel
Die beiden Geraden haben die Gleichungen
$ g_1: \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} $ und $ g_2: \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \\ 3 \end{pmatrix} $
Diese schneiden sich, was man am gemeinsamen Stützvektor und den linear unabhängigen Richtungsvektoren erkennen kann.
Ebene Aus Zwei Geraden Film
Zwei (echt) parallele Geraden liegen in einer Ebene. Diese Ebene ist durch die Geraden fest definiert,. Du kannst als einen Richtungsvektor den Richtungsvektor einer Geraden nehmen. Als zweiten Richtungsvektor nimmst du dann den Richtungsvektor zwischen den beiden Ortsvektoren. g1: X = A + r * AB g2: X = C + r * CD mit CD und AB linear abhängig. Wir bilden die Ebene E: X = A + r * AB + s * AC
Der Fall "Gerade in Ebene" ist eine Möglichkeit, wenn man die Lagebziehung zwischen Geraden und Ebenen untersucht. Zu zeigen, dass eine Gerade in einer Ebene liegt, also in ihr enthalten ist, gelingt am einfachsten, wenn die Ebene in Koordinatenform vorliegt. Hier brauchst du nur die Teilgleichungen der Gerade für die drei Koordinaten $x$, $y$ und $z$ in die Ebenengleichung einzusetzen und festzustellen, dass sich unabhängig vom Parameter $\lambda$ immer eine wahre Aussage ergibt. Ebene aus zwei geraden die. Zum Thema "Zeigen, dass Gerade in Ebene (in Koordinatenform) liegt", sehen wir uns folgende Beispiel-Aufgabe an:
Gegeben seien eine gerade $g$ und eine Ebene $E$ durch
$g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\0 \\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$
$E: 2x-2y+z=3$. Prüfe, ob die Gerade $g$ ganz in der Ebene $E$ verläuft. Strategie: Rechte Seite der Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen
Die Geradengleichung $g: \overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\0 \\1\end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\1\\ 0\end{array}\right), \lambda \in \mathbb{R}$ besteht aus drei Teilgleichungen, eine für jede der Koordinaten $x$, $y$ und $z$:
$x= 1+\lambda \cdot 1$
$y=0+\lambda \cdot 1$ und
$z=1+\lamda \cdot 0$,
oder vereinfacht:
$x=1+\lambda$,
$y=\lamda$ und
$z=1$.
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