10:47 Uhr, 06. 2021
"Aber habe ich nicht die n-te Wurzel aus (n+1)⋅x? " n-te Wurzel aus ∣ ( n + 1) x n ∣, also n + 1 n ⋅ ∣ x ∣. Und ∣ x ∣ ist in diesem Fall nur ein Faktor, der nicht von n abhängt. Also n + 1 n ⋅ ∣ x ∣ → ∣ x ∣. Cauchy-Produkt einer Reihe mit sich selbst bilden | Mathelounge. "Die Summe war doch von n=0 bis unendlich über (n+1)⋅x" Nein, über ( n + 1) x n. "Wäre die Reihe dann nicht konvergent gegen 1⋅x? " Nein, du verwechselt den Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert des Ausdrucks aus dem Wurzelkriterium. HAL9000
@Mai05 Deinen Antworten nach herrscht bei dir ein enormes gedankliches Chaos hinsichtlich Reihen, daher denke mal genau über folgendes nach: Es besteht ein Unterschied zwischen der Konvergenz der Reihengliederfolge und der Konvergenz der Reihe selbst, und im Zuge dessen auch ein Unterschied zwischen beiden Grenzwerten! Du scheinst das noch nicht richtig realisiert zu haben. Die Konvergenz der Reihe ∑ n = 0 ∞ ( n + 1) x n ist laut Wurzelkriterium gesichert, sofern lim n → ∞ ∣ ( n + 1) x n ∣ n = lim n → ∞ ∣ n + 1 ∣ n ⋅ ∣ x ∣ < 1 gilt, was für ∣ x ∣ < 1 der Fall ist.
- Cauchy-Produkt von Reihen - Mathepedia
- Cauchy-Produktformel – Wikipedia
- Cauchy-Produkt einer Reihe mit sich selbst bilden | Mathelounge
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Cauchy-Produkt Von Reihen - Mathepedia
Mit dem eigentlichen Reihenwert hat das NICHTS zu tun, der ist für diese x gleich ∑ n = 0 ∞ ( n + 1) x n = 1 ( 1 - x) 2. (bitte löschen - verunfalltes Doppelposting)
11:12 Uhr, 06. 2021
Okay dann nochmal eine Verständnisfrage. Ist das was ich im Bild geschrieben habe richtig? Und habe ich (wenns richtig ist) damit den GW der Reihe oder nur den GW des Ausdrucks bestimmt? 11:44 Uhr, 06. 2021
> Nein, du verwechselt den Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert des Ausdrucks aus dem Wurzelkriterium. Cauchy produkt einer reihe mit sich selbst. Das war doch wohl mehr als deutlich von DrBoogie. Du hast letzteres ausgerechnet, nicht den Reihenwert. Auch ich hatte mich oben dahingehend geäußert - wieviel Bestätigungen benötigst du noch?
B. d. A. setzen wir und finden. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist. Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt. Cauchy-Produkt von Reihen - Mathepedia. Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
Cauchy-Produkt Einer Reihe Mit Sich Selbst Bilden | Mathelounge
Ich habe jetzt folgendes: (Z stellt Summe Zeichen da, da ich vom Handy tippe) cn = Z (-1)^k * 1/√k * (-1)^n-k * 1/√(n-k) = (-1)^n Z 1/(√(k*(n-k))) Mit arithm. Und geom. Mittel folgt |cn | >= Z 2/n >= 1 Da cn keine Nullfolge, divergent. Kann bitte einer drüber schauen ob das so geht? Ich hoffe es ist verständlich.
Wenn in diesem Fall
jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz
von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein. Literatur
Konrad
Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN
3-540-41282-4. Basierend auf einem Artikel in:
Seite zurück © Datum der letzten Änderung:
Jena, den: 13. 02. 2021
Die Exponentialfunktion konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält
Nach Definition des Binomialkoeffizienten kann man das weiter umformen als
wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist. Eine divergente Reihe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es soll das Cauchy-Produkt
einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden. Hier gilt
Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt
Da die somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe
Berechnung der inversen Potenzreihe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür und. Cauchy-Produktformel – Wikipedia. Die Koeffizienten berechnen wir mithilfe von:,
wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:
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