In der Mathematik sind periodische
Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen
Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen
Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische
Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden
werden. Reelle periodische Funktionen
Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode. Definition
Eine reelle Zahl
ist eine Periode einer in
definierten
Funktion,
wenn gilt:
Die Funktion
ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode
zulässt. Man sagt dann auch,
sei " -periodisch". Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele
Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:
Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese
existiert für jede nichtkonstante stetige
periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder
beliebigen Periode ungleich 0. ) Wenn
eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von
die Vielfachen von.
Periodische Funktion Aufgaben Mit
Nämlich liegt die Periode bei 2π. Daher beträgt die Periode 2π. Wenn wir versuchen damit eine Formel zu erstellen, dann sieht sie wie folgt aus: sin(x) = sin(x + 2π) Wir können die Richtigkeit dieser Formel kurz prüfen, indem wir ein Beispiel heranziehen. Für x nehmen wir einfach mal die Zahl π. Wenn wir dies dann in unsere Formel einsetzen: sin(π) = sin(π + 2π) sin(π) = sin(3π) Jetzt überprüfen wir es, indem wir eine Sinuskurve aufzeichnen: Unsere Formel scheint wohl zu funktionieren. Übrigens, lass dich nicht von dem Punkt (2π|0) verwirren. Es stimmt, dass der Funktionswert des Punktes ebenfalls 0 beträgt, aber wenn man den Verlauf der Kurve genauer betrachtet, dann merkt man, dass dieser von den Punkten A und B verschieden ist. Wir können jetzt eine Parameter in unsere Formel hinzufügen. Nämlich gilt, dass bei einer Verschiebung von 2π in x-Richtung die Funktionswerte sich anfangen zu wiederholen. Dies trifft auch zu, wenn die Verschiebung 4π, 6π, 8π... in x-Richtung beträgt. Wir können diese Parameter k nennen.
Periodische Funktion Aufgaben Des
1. Bestimmung der Werte in der Gleichung der harmonischen Schwingung
Schwierigkeitsgrad:
leicht
1
2. Gerade und ungerade Winkelfunktionen
3. Funktionsgraphen
4. Umwandlung der Ausdrücke mithilfe der Periodizität der Funktionen
5. Periode der Winkelfunktion
6. Periode der Sinus- und Kosinusfunktion
7. Periode der Funktion der harmonischen Schwingung
8. Hauptperiode der Funktion
9. Graphen von periodischen Funktionen
10. Bestimmen der Periode einer Funktion
mittel
2
11. Gerade oder ungerade Funktion
12. Periodizität von Winkelfunktionen
13. Ist die Funktion gerade oder ungerade? 14. Erstellung des Graphen y=asin(bx+c)
15. Analyse des erstellten Graphen
16. Monotonie einer harmonischen Schwingung
17. Funktionswert ermitteln
18. Bestimmen des Ausdruckswertes
19. Vergleich von Werten
schwer
3
20. Periode der Funktion
21. Wert des Ausdrucks
22. Beweis der Identität
23. Lösung der Gleichung mithilfe der Periodizität
24. Bestimmung der Periode der Winkelfunktion
25. Bestimmung der Formel anhand der Zeichnung
26.
Periodische Funktion Aufgaben Der
Bei manchen Funktionen wiederholen sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abschnitten. Ist dies der Fall, so bezeichnet man die Länge des kürzesten solchen Abschnitts als die Periode der Funktion. Das ist nicht zu verwechseln mit der Periode von Dezimalzahlen. Beispiel Ein Beispiel einer periodischen Funktion ist die Sinusfunktion. An dem Graphen erkennt man (auch anhand der Farben), dass sich sin ( x) \sin(x) im Abstand von 2 π 2\mathrm\pi wiederholt. Das heißt, die Sinusfunktion besitzt die Periode 2 π 2 \pi. Startet man an einer beliebigen Stelle x x, kann man beliebig oft 2 π 2\pi addieren/subtrahieren und der Funktionswert des Sinus bleibt derselbe. Zum Beispiel: Das selbe gilt auch für die Kosinusfunktion. Formel Falls eine Funktion f f die Periode p p besitzt, dann gilt und f ( x) = f ( x − p) = f ( x − 2 p) = f ( x − 3 p) = … ~f(x)=f(x-p)=f(x-2p)=f(x-3p)=~… Hieran erkennt man, dass man zu jedem x x ein Vielfaches der Periode p p addieren/subtrahieren kann und der Funktionswert bleibt dabei derselbe.
Periodische Funktion Aufgaben Und
Beispiel: Eine Woche hat 7 Tage, jeder Tag 86 400 Sekunden, also hat eine Woche 602 000 Sekunden, die Frequenz ist also 3, 3 · 10 -6 Hz. Streckungen und Stauchungen
Hat f die Periode p, so sind für beliebige Konstanten c > 0 und d die Funktionen df (ct) periodisch, und zwar mit Periode p/c. (Der Faktor d verändert die Amplitude! ) Funktion zeichnen und erkennen
f(x)= a*sin ( b*(x-c)+d → für Sinusfunktion
f(x)= a*cos( b*(x-c)+d →für Cosinusfunktion
f(x)= a*tan ( b*(x-c)+d →für Tangensfunktion
Bedeutung der Buchstaben
Die Amplitude a bewirkt eine Streckung
Der Faktor b bewirkt eine Änderung der Periodenlänge, welche durch die Formel p=2π/b berechnet wird. Der Faktor c bewirkt eine Phasenverschiebung in x-Richtung. Wenn c>0 ist, dann verschiebt sich der Graph nach rechts, bei c<0 nach links
Der Faktor d bewirkt eine Verschiebung parallel der y-Achse um d. Das bedeutet, dass jedem Funktionswert die Zahl d dazu addiert wird. Anhand dieser Merkmale kann man periodische Funktionen zeichnen und auch erkennen!
Die bekanntesten periodischen Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind periodisch mit der Periode 2π. Periode und Frequenz
Eine Funktion f(x) heißt periodisch mit Periode p, wenn f(x + p) = f(x) für alle x ∈ R gilt
(dabei sei p eine feste positive Zahl). Dies bedeutet, daß die vertikale Verschiebung um p die Funktion in sich überführt. Typische Beispiele periodischer Funktionen sind Sinus und Cosinus (beide mit Periode 2π). Statt der Periode p betrachtet man oft den Kehrwert 1/p und nennt ihn die Frequenz (also die Häufigkeit der Wiederholung pro Zeiteinheit"): Ist f(t) eine Funktion mit der Periode 1/3, gilt also f(t + 1/3) = f(t) für alle t, so ist die Frequenz 3: alles wiederholt sich 3 mal pro Zeiteinheit. Die Schwingung f(t) = sin t schwingt pro 2π Sekunden einmal, sie hat also die Frequenz 1/2π [sec] -1 (und die Periode 2π).
Monotoniebereich
3
Mit dieser Art Wäsche zu waschen, lasst ihr nichts anbrennen und setzt die Passform eures Oberteils keinen Gefahren aus. Selbst euer Bügeleisen kann Einfluss auf die Form und Größe des T-Shirts nehmen. Das Bügeleisen verursacht bekanntlich ebenso Hitze und kann sich ebenso negativ auf den Stoff auswirken. Wie auch bei der Waschmaschine stellt auch hier das Bügeleisen auf eine niedrigere Temperatur. Für hartnäckige Falten gibt es Faltenspray und ihr bekommt auch ohne kochendheiße Luft eure T-Shirts glatt. Wäsche im trockner eingelaufen 5. Und falls die Wäsche doch schnell getrocknet werden muss, dann könnt ihr auch trotzdem guten Gewissens zum Trockner greifen. Achtet aber darauf, dass ihr, wie auch schon oben genannt, niedrige Temperaturen und einen kurzen Trockenvorgang wählt. Danach hängt ihr die Wäsche auf einen Wäscheständer auf und es dauert nicht mehr lange, dann ist Wäsche im Handumdrehen trocken. Die Wärme des Trockners steckt noch eine Weile in den Baumwollfasern und trocknet auf der Leine noch mal so richtig nach.
Wäsche Im Trockner Eingelaufen 5
Praxistipps Bad Den Wunsch, eingelaufene Kleidung zu retten hatte wohl schon jeder einmal. Wäscht man Textilien zu heiß, werden sie kleiner. Dennoch gibt es Tricks, Eingelaufenes wieder passend zu machen. Für Links auf dieser Seite zahlt der Händler ggf. eine Provision, z. B. für mit oder grüner Unterstreichung gekennzeichnete. Mehr Infos. Eingelaufene Kleidung retten: Das hilft bei Jeans Ist Ihre Lieblingsjeans beim letzten Waschgang oder im Trockner eingelaufen, müssen Sie sie nicht gleich entsorgen. Ein einfacher Trick hilft, die Jeans wieder passend zu machen. Schlüpfen Sie in die Hose, auch wenn sie kneift. Wäsche im trockner eingelaufen 2. Im Idealfall können Sie Reißverschluss und Knopf noch schließen. Dann setzen Sie sich mit der angezogenen Jeans in die mit lauwarmem Wasser gefüllte Badewanne. Hier müssen Sie etwa 10 Minuten aushalten. Tragen Sie die nasse Jeans mindestens eine Stunde lang und bewegen Sie sich dabei möglichst viel. Im Hochsommer bietet sich ein Spaziergang an. Gewöhnlich sind die Fasern nach dieser Behandlung etwas gedehnt und Ihre Lieblingsjeans passt wieder wie angegossen.
Wäsche Im Trockner Eingelaufen 2
Ist es doch passiert und ein Kleidungsstück ist eingelaufen, probiere folgende Tricks: Haarspülung Haarspülung macht nicht nur deine Haare weich, sondern auch Wolle. Um zu versuchen, ein Kleidungsstück mit Wollanteil wieder in die ursprüngliche Größe zu bekommen, weiche es in Haarspülung ein. Besorge dir dazu eine Flasche Haarspülung deiner Wahl und löse den gesamten Inhalt in einer Waschschüssel mit lauwarmem Wasser auf. Wäsche im trockner eingelaufen 9. Lege dann den Pulli einige Stunden, am besten über Nacht, hinein und lasse die Haarspülung einwirken. Verfahre dann weiter wie unter "Dehnen" beschrieben. Essigwasser Du kannst auch versuchen, dein eingelaufenes Kleidungsstück mit Essigwasser wieder geschmeidiger und somit dehnbar zu machen. Das Verhältnis von Wasser zu Essig sollte 2 zu 1 sein, also 2l Wasser und 1l Essig. Verwende bitte nur Essig, der keine Farbe hat, um einem Verfärben der Wäsche vorzubeugen. Lasse das Textil mindestens 30 Minuten, gerne länger einweichen und dehne es dann wie folgt: Dehnen Nachdem dein Pulli in Haarspülung oder Essigwasser eingeweicht war, ist es Zeit, die so aufgeweichten und entspannten Fasern des Gewebes zu dehnen.
oder bettwäsche, weil ich die dann gleich wieder nutzen kann. es würde mir nie einfallen z. b. t-shirts in den trockner zu tun - die laufen bei mir immer ein. nach der menge an fusseln, dich ich nach einem trocknergang aus dem sieb hole, zu urteilen, tut der trockner der wäsche sowieso nicht so gut... und energie frisst er auch ohne noch ende. ************************
Ein Gespräch setzt voraus, dass der andere recht haben könnte. Jürgen Habermas
16. 2007, 21:26
Zitat von Alinaluna... und energie frisst er auch ohne noch ende. Genau deswegen läuft mein Trockner ausschließlich im Winter oder Herbst-Schietwetter. 17. Lieblingskleidung eingelaufen? Mit diesem einfachen Trick kannst Du sie retten. 2007, 08:56
Der Trockner ist neu. Mich wundert, dass bei manchen nichts einläuft. Ich hab viele Kleidungsstücke doppelt und kann direkt den Vergleich sehen, welches kleiner wurde, weil es im Trockner war. Im Sommer stellt wohl niemand den Trockner an. Das war nicht meine Frage. Nur, sobald klammes Wetter ist, trocknet hier die Wäsche nicht. Dann muss ich sie im Trockner oder auf der Heizung wenigstens vortrocknen.