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23. 06. 2011, 16:19
thomas91
Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination mit Nullvektor
ich habe hier 3 vektoren, c1, c2, c3 und möchte den nullvektor als linear kombination der 3 vektoren darstellen
wenn ich jetzt auf trepenstuffenform umforme erhalte ich am ende:
also ergibt sich daraus
c3 = 0
c2 = 0
c1 = 0
Meine Frage:
warum wird der nullvektor nicht als linear kombination dargestellt wenn eh überall 0 rauskommt, warum sind diese vektoren linear unabhängig
weil wenn ich aus der trepenstufenform die determinante berechne kommt 0 raus und müsste somit linear abhängig sein
23. Linear combination mit 3 vektoren en. 2011, 16:41
Helferlein
Du vermischt zwei Sachverhalte. Zum einen die Lineare Unabhängigkeit der Vektoren und, zum anderen die Lineare Unabhängigkeit der Vektoren und. Das erste hast Du nachgewiesen, indem Du das homogene GLS gelöst hast. Das zweite hast Du über das Determinantenkriterium wiederlegt, was aber der ersten Aussage ja nicht widerspricht. 23. 2011, 16:53
gibt es irgendeinen fall wo der nullvektor als linear kombination dargestellt werden kann, weil ich denk mir dan würde immer für c 0 rauskommen, oder?
Linear Combination Mit 3 Vektoren For Sale
Eine (der hier sogar unendlich vielen) Kombination(en) reicht ja völlig aus. Und wenn man sie - so wie hier - eigentlich direkt sehen kann, spart man sich viel Arbeit.
Linear Combination Mit 3 Vektoren En
23. 2011, 18:01
thomas91-
das heißt diese vektoren sind abhängig
und ich brauch gar nicht die vektoren auf trepenstufenform zu bringen sonst bekomme ich immer die triviale lösung
habe ich das richtig verstanden
23. 2011, 18:40
Nicht ganz. Sie sind linear abhängig, richtig. Aber das erkennst Du auch an der Stufenform, denn dort hast Du eine Nullzeile. (Die ja für eine Gleichung 0=0 steht). 23. 2011, 18:46
aber macht diese zullzeile ganz unten nicht alles andere zu einem Nuller? 23. 2011, 19:25
ich hab jetzt beim ersten beispiel einfach die gleichungen hergekommen und so gerechnet wie du vorher:
die 2te gleichung umgeformt ergibt
c1 = 2c3
die 3te gleichung umgeformt ergibt
c2 = 2c3
die 3te ergibt dan somit
3*2c3 + 2c3+c3 = 0
also 9c3 = 0 und somit sind die vektoren unabhängig
stimmt das so? Linearkombination aus 3 Vektoren mit Skalaren bilden | Mathelounge. 23. 2011, 20:34
Ja, ist richtig. Zur Nullzeile: Die steht (wie oben schon erwähnt) für eine Gleichung 0=0 und sagt dir somit, dass eine Gleichung im Ausgangssystem überflüssig war. Wenn Du nun aber nur noch zwei Gleichungen mit drei Unbekannten hast, kann das Ergebnis unmöglich eindeutig sein.
Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden: In diesem Fall ist a = 8, b = − 2 a=8, \;b=-2 und c = − 1 c=-1, also: Der Vektor ( 1 0 0) \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} soll als Linearkombination der Vektoren ( 1 1 2), ( 1 1 1) \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und ( 3 3 5) \begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix} dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden: Man wird feststellen, dass dies nicht möglich ist. Aufgaben zur Linearkombination - lernen mit Serlo!. Der Vektor ( 1 0 0) \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} ist also keine Linearkombination der Vektoren ( 1 1 2), ( 1 1 1) \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} und ( 3 3 5) \begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}. Spann Kann ein Vektor u → \overrightarrow u als Linearkombination der Vektoren v 1 →, v 2 →, v 3 →, …, v n → \overrightarrow{v_1}, \;\overrightarrow{v_2}, \;\overrightarrow{v_3}, \;…, \;\;\overrightarrow{v_n} dargestellt werden, so liegt u → \overrightarrow u im Spann der Menge { v 1 →, v 2 →, v 3 →, …, v n →} = A \left\{\overrightarrow{v_1}, \;\overrightarrow{v_2}, \;\overrightarrow{v_3}, \;…, \;\;\overrightarrow{v_n}\right\}=A.