In Teil 1 und Teil 4 haben wir verschiedene geometrische Darstellungen von komplexen Zahlen kennengelernt und auch, wie man damit Rechnungen »konstruktiv« durchführen kann. In Teil 3 haben wir uns mit den verschiedene algebraische Darstellungen beschäftigt. Jetzt ist es an der Zeit mit den komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung schriftlich zu rechnen. Addition/Subtraktion
Die Addition erfolgt durch paralleles Verschieben eines Pfeils ans Ende des anderen (s. Abb. 1). Dadurch werden in Richtung der beiden Achsen einfach die Komponenten addiert:. Abb. 1: Die Addition komplexer Zahlen. Das zu additiv Inverse ist. Quotient komplexe zahlen definition. Die Subtraktion wird damit zur Addition. Bei der komplexen Addition bzw. Subtraktion werden also einfach die Real- bzw. Imaginärteile getrennt voneinander addiert bzw. subtrahiert. Multiplikation
Zur Berechnung des Produkts zweier komplexer Zahlen
tun wir so, als würden wir zwei Klammerterme ausmultiplizieren:. Jetzt verwenden wir und erhalten. Hat diese komische Mischung der Real- und Imaginärteile von und aber tatsächlich die Eigenschaften, die wir in Teil 1 für die Multiplikation gefunden haben?
- Quotient komplexe zahlen 6
- Quotient komplexe zahlen 5
Quotient Komplexe Zahlen 6
Beweise dieselbe Aussage für beliebige komplexe Zahlen und. Berechne:
Bestimme die positiven ganzzahligen Potenzen von i – also – sowie die negativen ganzzahligen Potenzen von i – also. (Es genügen die Exponenten von −8 bis +8. ) Beweise, dass gilt:
Zeige, dass gilt:
Gegeben sei:
Es sind reelle Zahlen a und b so zu bestimmen, dass gilt:
Lösungen [ Bearbeiten]
1. Summe
2. Quotient komplexe zahlen. Differenz
3. Produkt
4. Quotient
Wir beschränken uns auf Produkt und Quotient:
Exponent
+2
+3
+4
+5
+6
+7
+8
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
Potenz
Wegen erscheint manches etwas seltsam, beispielsweise. Lösung zu Übung 8
Einfache quadratische Gleichung
Zur Übung
Wir vergleichen Real- und Imaginärteil und erhalten:
( a ist zwangsläufig ungleich 0. ) Daraus folgt:
Mögliche Lösungen sind also und. Da a reell sein soll, können wir die zweite Lösung nicht gebrauchen; also gilt. Für ergibt sich, und für erhalten wir. Hinweise [ Bearbeiten]
Anmerkungen [ Bearbeiten]
↑ In der Elektrotechnik wird der Buchstabe i für die elektrische Stromstärke benutzt.
Quotient Komplexe Zahlen 5
Genauso (wenn auch langwieriger und langweiliger) wird das Assoziativgesetz bestätigt. Division [ Bearbeiten]
Dafür benötigen wir noch Vorbemerkungen. Berechnen wir (wie angekündigt) den Betrag:
Daraus ergibt sich unmittelbar: Das Produkt aus einer komplexen Zahl und der dazu konjugiert-komplexen Zahl ist reell. Quotient komplexe zahlen 6. Für den Fall (also mit oder) ist das Produkt positiv. Ähnlich wie bei der Multiplikation können wir damit die Division einführen.
Für
-1
ist es gerade ein Umlauf im Uhrzeigersinn, für
-2,
-3,
entsprechend zwei, drei,... Die Periodizität von
ist damit unmittelbar anschaulich. Komplexe Arithmetik in der Exponentialdarstellung Die konjugiert komplexe Zahl zu
r
*
In der Exponentialdarstellung ist die Multiplikation komplexer Zahlen ganz leicht
auszuführen. Wurzeln komplexer Zahlen | Maths2Mind. Seien
Dann ist
Also ist
arg
3)
Komplexe Zahlen lassen sich in der Exponentialdarstellung auch sehr einfach
potenzieren:
φ,
k))
k)
k
…,
Der Quotient zweier komplexen Zahlen ist
2)