Sie erhalten die (allerdings nicht genaue) Lösung x = 35, 93. Es ist daher zu vermuten, dass x = 36 die richtige Lösung ist. Eine Probe bestätigt das. Das Beispiel zeigt die Grenzen dieser Methode deutlich auf - nur im Notfall sollten Sie so verfahren. Gleichungen mit Hauptnenner lösen - so geht's
Für die zweite Methode, also einen Hauptnenner für die Gleichung zu suchen, sei das Beispiel 3/4 x -1/4 = 4/5 x gewählt. Als Nenner treten hier die Zahlen 4 und 5 auf, der Hauptnenner ist einfach 20. Sie multiplizieren die gesamte Gleichung, also alle drei auftretenden Terme, mit 20 und erhalten: 15 x - 5 = 16 x. Beim ersten Term 3/4 x beispielsweise rechnen Sie 3/4 mal 20 = 60: 5 = 15 oder 20: 4 (der Nenner) = 5 x 3 =15. Diese Gleichung ist leicht zu lösen; Sie erhalten x = -5 als Lösung. Bitte verwechseln Sie Gleichungen mit Brüchen, also Gleichungen, in denen Bruchzahlen auftreten, nicht mit Bruchgleichungen, in denen auch die Unbekannte x in Brüchen vorkommt (z. B. 15/x). Für jene gibt es andere, jedoch kompliziertere Lösungsverfahren.
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Ebenfalls zu beachten ist, dass bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl oder bei der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden muss. Wird eine Bruchungleichung mit einer Variablen multipliziert oder durch sie dividiert, muss eine Fallunterscheidung gemacht werden. Den Unterschied haben wir nun erklärt! Eine Bruchungleichung besteht nicht nur aus einem Bruch. Es kann passieren, dass ihr auch Aufgaben mit mehreren Brüchen habt. Auch da haben wir folgende Ansätze um die Aufgabe Erfolgreich zu lösen. Nur man sollte wieder wie folgt einmal die Unterschiede kennen. Wie du Bruchungleichungen lösen kannst? Eigentlich bestimmen wir wie bei den Gleichungen zunächst einmal die Definitionsmenge. Im Prinzip ist es möglich, hier alle Werte anzunehmen. Eine Ausnahme bilden die Werte, die im Nenner 0 ergeben. Wir wissen schon aus der Bruchrechnung, dass wir durch Null niemals dividieren dürfen. Wir haben mit den > < Zeichen zu tun, das ist eigentlich der einzige Unterschied zu den Gleichungen.
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Beispiel: Bei einer Atlaskarte steht zum Beispiel $$1:10. 000. 000$$ Das bedeutet: $$1 cm$$ im Bild entspricht $$10. 000$$ $$cm$$ in Wirklichkeit. Jetzt misst du im Atlas eine Strecke von $$7, 8$$ $$cm$$ zwischen zwei Städten als Luftlinie. Du sollst berechnen, wie weit die Städte in der Realität auseinander liegen. Du stellst eine Verhältnisgleichung auf. $$1 =10. 000$$ $$7, 8 = x$$ $$1/7, 8 = (10. 000)/x |$$ Kehrwert $$7, 8/1 = x / (10. 000) |*10. 000$$ $$78. 000 = x $$ Antwort: Die Städte liegen $$780$$ $$km$$ auseinander. $$10. 000$$ $$cm = 100$$ $$km$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Gleichungen mit dem Formel-Editor So gibst du Zahlen und Variablen in ein:
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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Unterscheide:
Bei a · x = b muss man (links und rechts) durch a dividieren, um x zu erhalten
Bei x: a = b muss man (links und rechts) mit a multiplizieren, um x zu erhalten
Bei x + a = b muss man (links und rechts) a subtrahieren, um x zu erhalten
Bei x − a = b muss man (links und rechts) a addieren, um x zu erhalten
Bei a − x = b muss man (links und rechts) x addieren und b subtrahieren, um x zu erhalten
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen. Bei Gleichungen der Form a · x + b = c müssen immer erst die Strichbindungen gelöst werden. Die Punktbindungen sind die engeren Bindungen und bleiben länger bestehen. Bei Gleichungen der Form
ax + b = cx + d
kommst du weiter, in dem du z. B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst:
ax − cx = d − b
Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei. Gehe bei umfangreicheren linearen Gleichungen nach folgendem Schema vor
rechte und linke Seite so weit wie möglich vereinfachen durch Addition und Subtraktion die Gleichung in die Form ax = b bringen, d. h. zunächst alle x-Vielfachen auf die eine Seite, die andere Seite x-frei zuletzt durch a teilen
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(Lektion 1. ) Daher teilen wir zuerst die LCM durch jeden Nenner und entfernen auf diese Weise die Brüche. Wir wählen ein Vielfaches jedes Nenners, weil jeder Nenner dann ein Teiler davon ist. Beispiel 2. Lösche die Brüche und löse für x:
x 2
–
5x 6
1 9
Lösung. Die LCM von 2, 6 und 9 ist 18. (Lektion 23 der Arithmetik. ) Multipliziere beide Seiten mit 18 – und streiche. 9x – 15x = 2. Es sollte nicht notwendig sein, 18 zu schreiben. Der Schüler sollte sich einfach ansehen und sehen, dass 2 neun (9) Mal in 18 aufgeht. Der Term wird also zu 9x. Schauen Sie sich als nächstes an und sehen Sie, dass 6 drei (3) Mal in 18 eingeht. Dieser Term wird also 3- -5x = -15x. Schließlich schaue an und sieh, dass 9 zwei (2) Mal durch 18 geht. Dieser Term wird also zu 2 – 1 = 2. Hier ist die gelöste Gleichung, gefolgt von ihrer Lösung:
9x – 15x
2
-6x
2 -6
1 3
Beispiel 3. Lösen Sie für x:
½(5x – 2) = 2x + 4. Lösung. Es handelt sich um eine Gleichung mit einem Bruch. Löse die Brüche, indem du beide Seiten mit 2 multiplizierst:
5x – 2
4x + 8
5x – 4x
8 + 2
Bei den folgenden Aufgaben, Brüche auflösen und für x lösen:
Um die einzelnen Antworten zu sehen, fahre mit der Maus über den farbigen Bereich.