Hast du gerade das Thema Integration durch Substitution in Mathe, aber weißt nicht genau wie es geht? Dann bist du hier genau richtig: In diesem Artikel wollen wir dir erklären, wie die Substitutionsregel funktioniert. :) Das Thema kann dem Fach Mathematik und genauer dem Unterthema Integralrechnung zugeordnet werden. Wann wird die Substitutionsregel angewendet? Integration durch Substitution. Wenn du eine verkettete Funktion ableitest, benutzt du die Kettenregel. Was beim Ableiten die Kettenregel ist, nennt man beim Integrieren (Aufleiten) die Substitutionsregel. Die lautet wie folgt: Am besten merkst du dir, dass die Integration durch Substitution immer dann angewendet wird, wenn beim Ableiten die Kettenregel angewendet werden würde. Dies ist bei ineinander verschachtelten (verketteten) Funktionen der Fall. Gut zu wissen! φ = kleines Phi (griechisches Alphabet) Wie integriere ich durch Substitution? Folgende Schritte solltest du befolgen, wenn du durch Substitution integrieren möchtest: Bereite die Substitution vor 1.
Integration Durch Substitution Aufgaben Chart
Beispiele 2
Finde durch anwenden der Substitutionsregel die Lösung für das folgende Integral:
\(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\, dx\)
Zunächst einmal muss man sich das Integral genau angucken und Analysieren. Integration durch substitution aufgaben test. Wir erkennen den Term \(x^2+1\) und sehen dass die Ableitung von diesem Term, also \((x^2+1)'=2x\) ebenfalls als Vorfaktor im Integral vorkommt. Der erste Schritt bei der Partiellen Integration besteht meist darauß zu erkennen ob im Integral sowohl ein Term als auch seine Ableitung vorkommt. Wir nenn nun die innere Funktion \(\varphi (x)\):
\(\varphi (x)=x^2+1\)
Nun besimmten wir die Ableitung von \(\varphi (x)\):
\(\frac{d\varphi}{dx}=\varphi'(x)=2x \implies dx=\frac{1}{2x}\cdot d\varphi\)
Wir ersetzen nun im Ausgangsintegral die innere Funktion mit \(\varphi\) und ersetzen das \(dx\) mit \(\frac{1}{2x}\cdot \varphi\). \(\displaystyle\int 2x\cdot (x^2+1)^4\, dx = \displaystyle\int 2x\cdot \varphi^4\frac{1}{2x}\, d\varphi\)
Nun haben wir unser Ausgangsintegral umgeschrieben und können nun das einfacherer Integral lösen.
Integration Durch Substitution Aufgaben Test
\text{e}^{u} \cdot \frac{1}{2} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \end{align*} $$ Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Jetzt haben wir es mit einem einfacher handhabbarem Integral zu tun, das wir im nächsten Schritt integrieren. Integration durch substitution aufgaben chart. Integration $$ \begin{align*} F(u) &= \frac{1}{2} \cdot \int \! \text{e}^{u} \, \textrm{d}u \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{u} + C \end{align*} $$ Rücksubstitution $$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = 2x$}} $$ in $$ F(u) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}u}} + C $$ ergibt $$ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{e}^{{\color{red}2x}} + C $$ Beispiel 2 Berechne $\int \! x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x$. Substitution vorbereiten Den zu substituierenden Term bestimmen Die Wurzel $\sqrt{x + 1}$ stört uns beim Integrieren! Im 1. Schritt ersetzen wir deshalb die Wurzel durch die Variable $u$: $$ {\fcolorbox{orange}{}{$\sqrt{x + 1} = u$}} $$ Gleichung aus Schritt 1 nach $x$ auflösen $$ \begin{align*} \sqrt{x + 1} &= u &&| \text{ Quadrieren} \\[5px] x + 1 &= u^2 &&|\, -1 \end{align*} $$ $$ {\fcolorbox{red}{}{$x = u^2 - 1$}} $$ $$ \Rightarrow \varphi(u) = u^2 - 1 $$ Gleichung aus Schritt 2 ableiten $$ \varphi'(u) = 2u $$ Integrationsvariable ersetzen $$ \textrm{d}x = \varphi'(u) \, \textrm{d}u $$ $$ {\fcolorbox{red}{}{$\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$}} $$ Substitution $$ F(x) = \int \!
x \cdot \sqrt{x + 1}^3 \, \textrm{d}x $$ mit $x = u^2 - 1$ $\sqrt{x + 1} = u$ $\textrm{d}x = 2u \, \textrm{d}u$ ergibt $$ F(u) = \int \! (u^2 - 1) \cdot u^3 \cdot 2u \, \textrm{d}u $$ Zusammenrechnen $$ \begin{align*} F(u) &= \int \! (u^2 - 1) \cdot 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= \int \! 2u^6 - 2u^4 \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \end{align*} $$ Durch Einführung einer neuen Integrationsvariable konnten wir einen Teil des Integranden ersetzen und auf diese Weise das Integral vereinfachen. Mathe Aufgaben Analysis Integralrechnung Substitutionsregel - Mathods. Integration $$ \begin{align*} F(u) &= 2 \int \! (u^6 - u^4) \, \textrm{d}u \\[5px] &= 2 \cdot \left(\frac{1}{7}u^7 - \frac{1}{5}u^5\right) + C \\[5px] &= \frac{2}{7}u^7 - \frac{2}{5}u^5 + C \end{align*} $$ Rücksubstitution $$ {\fcolorbox{orange}{}{$u = \sqrt{x + 1}$}} $$ in $$ F(u) = \frac{2}{7}{\color{red}u}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}u}^5 + C $$ ergibt $$ F(x) = \frac{2}{7}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^7 - \frac{2}{5}{\color{red}\sqrt{x + 1}}^5 + C $$ Auf eine weitere Vereinfachung des Terms wird an dieser Stelle verzichtet.