Insbesondere ist für keine ganze Zahl (Theisinger 1915). [1] Allgemeiner gilt, dass keine Differenz für eine ganze Zahl ist ( Kürschák 1918), [2] dies ist wiederum ein Spezialfall eines Satzes von Nagell 1923. [3]
Ist eine Primzahl, so ist der Zähler von nach dem Satz von Wolstenholme durch teilbar, ist eine Wolstenholme-Primzahl, dann sogar durch. Divergenz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die harmonische Reihe divergiert gegen unendlich, wie zuerst Nikolaus von Oresme (14. Jh. Duden | Reihe | Rechtschreibung, Bedeutung, Definition, Herkunft. ) bewies. Man sieht dies durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist ( Minorantenkriterium):
Die Summe der letzten Zeile übersteigt jeden Wert, wenn genügend groß ist. Genauer erhält man die Abschätzung
für
Asymptotische Entwicklung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gilt die asymptotische Entwicklung:
Hierbei bezeichnet den natürlichen Logarithmus, und das Landau-Symbol beschreibt das Verhalten des Restterms der Entwicklung für. Die mathematische Konstante (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und ihr numerischer Wert beträgt 0, 5772156649…
Partialsummen der harmonischen Reihe mit Näherung ln n + γ und Abschätzung ln n + 1
Des Weiteren gilt, falls.
Die 8 Reihe
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Noch Fragen?
Es ist nämlich und wenn man setzt, erhält man in der Reihenentwicklung die alternierende harmonische Reihe. Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man
sie divergiert für und konvergiert für (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium). Deren n -te Partialsummen werden auch als oder bezeichnet. Gesellschaften und Kulturen des sephardischen Judentums I Sephardic Societies and Cultures von Rauschenbach , Schapkow , Hirsch - B001206300 | Nomos Online-Shop. Beispiel für (siehe Basler Problem):
Beispiel für:
wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Lässt man für auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur riemannschen Zetafunktion. Subharmonische Reihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Subharmonische Reihen entstehen dadurch, dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglässt, etwa nur die Kehrwerte aller Primzahlen summiert:
Diese Summe divergiert ebenfalls ( Satz von Euler). Eine konvergente Reihe entsteht, wenn man nur noch über die Primzahlzwillinge (oder gar Primzahldrillinge oder Primzahlvierlinge usw. ) summiert; allerdings ist nicht bekannt, ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt. Die Grenzwerte werden Brunsche Konstanten genannt.