Gemeinsame Tangenten
zweier Kreise
Hier: Gleich lange Sehnen
Neuere Entdeckungen und Vermutungen
(Die Abbildungen dürfen kopiert werden, aber ohne Veränderungen. ) 1. ) In der ersten Abbildung sind Kreispaare zu sehen,
einmal mit den inneren und einmal mit den äußeren Tangenten. (Manchmal werden sie auch "interne und externe Tangenten" bezeichnet. ) Verbindet man, wie gezeigt,
die gegenüber-liegenden Berührungspunkte miteinander,
dann haben die Sehnen die gleiche Länge. Diese Beziehung wurde in Jahr 2003 von Markus Heiss (oder: Heisss) entdeckt. 2. ) Die äußeren Tangenten mit Formeln:
Die Formel für die Länge der zwei Sehnen lautet:... oder als: s1 = s2 = 4*R*r/d*((((d - R + r)(d + R - r))/(d*d + 4*R*r))^(1/2))
Weitere Formeln:
3. ) Und jetzt die inneren Tangenten mit Formeln:
Die Formel für die Länge der zwei Sehnen lautet:... oder als: s3 = s4 = 4*R*r/d*((((d + R + r)(d - R - r))/(d*d - 4*R*r))^(1/2))
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4. Das Tangentenproblem | mathemio.de. ) Ein weiteres Phänomen ist in der nächsten Abbildung dargestellt:
Vermutung:
Verbindet man die neu entstandenen Schnittpunkte der Geraden
mit den Kreisen wieder überkreuz miteinander,
so erhält man vier weitere Sehnen, die alle die gleiche Länge besitzen.
- Verbindung von tangenten von
- Verbindung von tangenten in english
Verbindung Von Tangenten Von
Wie in der letzten Aufgabe bestimmt man zuerst die Ableitung. Der -Wert von ist. Dieser Wert wird in eingesetzt und man erhält. Dies liefert den Ansatz für die gesuchte Tangente. Als letztes wird der Punkt in diesen Ansatz eingesetzt um zu bestimmen:
Die Tangentengleichung ist somit. Als neue Schwierigkeit kommt hier die Exponentialfunktion dazu. Solltest Du mit der Exponentialfunktion noch Schwierigkeiten haben, schau Dir am besten nochmal den Artikel zur Exponentialfunktion an. Leitet man ab, so erhält man (n). Der -Wert von in eingesetzt ergibt. Man erhält den Ansatz. Um zu bestimmen, setzt man in diesen Ansatz ein:
Die gesuchte Tangente hat die Gleichung. Tangenten Abstand berechnen | Mathelounge. Die Ableitung von ist. Setzt man den -Wert von in ein, so erhält man:
Der Ansatz für die Tangente ist somit. Schließlich setzt man noch den Punkt in den Ansatz ein, um zu bestimmen:
Die gesuchte Tangente hat somit die Gleichung. Um die Ableitung von zu bestimmen, benötigst Du die Produktregel. Wenn man diese anwendet, erhält man. Setzt man nun den -Wert von dort ein, so folgt:
Um zu bestimmen, muss man zunächst den -Wert von bestimmen.
Verbindung Von Tangenten In English
Es ist und. Die Berührpunkte sind also:
Für beide Fälle ist der Ansatz für die Tangente gleich. Setzt man den ersten Berührpunkt ein, so erhält erhält man:
Beim zweiten Berührpunkt erhält man
Es gibt also zwei mögliche Tangenten an, deren Steigung gleich 9 ist. Die Gleichungen lauten und. Untenstehende Abbildung zeigt, wie die Tangenten am Schaubild liegen:
Die Ableitung von ist. Als nächstes bestimmt man, für welches die Ableitung den Wert annimmt. Verbindung von tangenten in france. Um dieses zu bestimmen, muss man die folgende Exponentialgleichung lösen:
Den Berührpunkt erhält man, indem man in einsetzt. Es folgt:
Somit ist der Berührpunkt gleich. Aufgrund der vorgegebenen Steigung ist der Ansatz für die Tangentengleichung gleich. Das wird nun bestimmt, indem der Berührpunkt in die Gerade eingesetzt wird:
Daraus folgt die Gleichung der gesuchten Tangente als. Zunächst leitet man ab und erhält. Sucht man die für die ist, muss man folgende Gleichung lösen:
Um diese Gleichung zu lösen benötigt man die Mitternachtsformel bzw. die pq-Formel:
Da es zwei verschiedene -Werte gibt, gibt es auch zwei verschiedene Berührpunkte und.
Und dieses Spiel kann man endlos fortsetzen! Des Weiteren überschneiden sich die Sehnen,
und die Teilstrecken der Sehnen haben ebenfalls die gleichen Längen. ---> Strecken mit derselben Farbe in der Zeichnung besitzen die gleichen Längen. 5. ) Lässt man die Figur mit den inneren
(oder äußeren) Tangenten rotieren,
dann schneiden die Sehnen Teile der Kugeln ab, die an "Apfelschalen" erinnern. Diese Apfelschalen besitzen dieselben Volumina. Vorsicht ist geboten, wenn die Sehnen die Rotationsachse überschneiden!... Dies ist die Formel für die Volumina mit den inneren Tangenten.... Und das ist die Formel für die Volumina mit den äußeren Tangenten. 6. ) Und die letzte Abbildung:
Die Abbildung von 4. ) kann man ebenfalls rotieren lassen
und man erhält Fragmente von Kugeln, die auch dieselben Volumina besitzen. 7. ) Das gesamte geometrische Phänomen
wurde im Jahr 2003 von Markus Heiss (oder: Heisss) entdeckt
und teilweise im Jahr 2005 in der Zeitschrift "Die Wurzel" veröffentlicht. Ich hoffe, es hat Ihnen gefallen,
Referenzen:
1. Verbindung von tangenten in english. )