Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht. Es kann je nach Kontext erforderlich sein, zwischen diesen beiden Begriffen zu unterscheiden (siehe Abschnitt "Unbestimmtes Integral"). Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion versteht man eine differenzierbare Funktion deren Ableitungsfunktion mit übereinstimmt. Stammfunktion der Wurzelfunktion: einfach erklärt - simpleclub. Ist also auf einem Intervall definiert, so muss auf definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl aus gelten:
Existenz und Eindeutigkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist nämlich integrierbar und die Integralfunktion
ist eine Stammfunktion von. Ist auf integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion.
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Weil die Ableitung einer holomorphen Funktion wieder holomorph ist, können nur holomorphe Funktionen Stammfunktionen besitzen. Holomorphie ist lokal bereits hinreichend: Ist ein Gebiet, eine holomorphe Funktion und, dann gibt es eine Umgebung von in und eine Stammfunktion von, d. h. für alle. Die Frage der Existenz von Stammfunktionen auf ganz hängt mit topologischen Eigenschaften von zusammen. Für eine holomorphe Funktion mit offen und zusammenhängend sind folgende Aussagen äquivalent:
Die Funktion hat eine Stammfunktion auf ganz, das heißt, ist holomorph und ist die komplexe Ableitung von. Stammfunktion, Aufleitung, Integrationskonstante | Mathematik - Welt der BWL. Wegintegrale über hängen nur von den Endpunkten des Weges ab. Wegintegrale über geschlossene Wege (Anfangspunkt = Endpunkt) liefern als Ergebnis immer 0. Für ein Gebiet sind äquivalent:
Jede holomorphe Funktion hat eine Stammfunktion. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomotop. Jeder stetige, geschlossene Weg ist nullhomolog. ist einfach zusammenhängend. Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Faltung, für eine Methode zur Interpretation und zum Finden von Stammfunktionen.
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?
↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band 2, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1977, ISBN 3-423-03008-9, S. 333.
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