Für eine inhomogene lineare Diffferentialgleichung zweiter Ordnung, deren Störfunktion von einer bestimmten Gestalt ist, gibt es den sogenannten Ansatz vom Typ der rechten Seite. Dieser liefert eine partikuläre Lösung, die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition dieser partikulären Lösung zu der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Lemma
Es sei
eine Differentialgleichung der Ordnung mit Koeffizienten
und einem Polynom
vom Grad. Es sei die
Nullstellenordnung
von im
charakteristischen Polynom. Dann gibt es eine Lösung dieser Differentialgleichung der Form
mit einem Polynom vom Grad. Beweis
Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als
mit
und
an. Es ist
Damit ist
was zur Bedingung
führt. Ansatz vom typ der rechten seite deutsch. Man beachte, dass der Term der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ist. Wenn
ist, so ist dieser Wert. Das heißt, dass in der linken Seite nur dort vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von zu festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von festgelegt.
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Deshalb divergiert auch die harmonische Reihe nach dem sogenannten Minorantenkriterium. Denn diese ist ja sogar immer noch ein wenig größer als. Alternierende harmonische Reihe
im Video zur Stelle im Video springen (02:32)
Es gibt allerdings eine Abwandlung der harmonischen Reihe, die durchaus konvergiert. Nämlich die alternierende harmonische Reihe. Sie wechselt immer das Vorzeichen durch den Faktor. Konvergenz
Durch die ständige Änderung des Vorzeichens konvergiert die alternierende harmonische Reihe. Weil die Summanden abwechselnd addiert und subtrahiert werden, konvergiert die Folge der Partialsummen gegen einen festen Wert. Grenzwert
Weil die alternierende harmonische Reihe konvergiert, besitzt sie auch einen Grenzwert. DGL partikuläre Lösung Ansatz vom Typ der rechten Seite | Mathelounge. Auf dem Bild oben siehst du schon, dass sich die Punkte einem gewissen Wert annähern. Den konkreten Grenzwert kannst du zum Beispiel über Taylorreihen
herleiten. Allgemeine harmonische Reihe
im Video zur Stelle im Video springen (02:54)
Bisher hast du eigentlich nur Spezialfälle der harmonischen Reihe kennengelernt.
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Ansatz von Typ der rechten Seite [HM2 Kap. 34] #005👍👌📐🔢♾️ - YouTube
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Die Funktionen
ermittelt man nun mittels der
Gleichungen
III. Zurückführung auf ein inhomogenes lineares System mit konstanten Koeffizienten. Mit
und
wie im homogenen Fall und mit
transformiert sich die inhomogene lineare Differentialgleichung
in das allgemeine System mit konstanten Koeffizienten
Der Lösungsansatz für dieses System wird oben beschrieben.
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Du kannst diese Reihe auch allgemeiner betrachten. Wenn du über summierst, ist das also gerade der Fall. Wir haben schon festgestellt, dass diese harmonische Reihe divergiert. Für sieht das etwas anders aus. Hier siehst du einmal den Fall. Hier ist die Folge der Partialsummen auch wieder monoton steigend. Diesmal kannst du die Folge aber nach oben abschätzen, und zwar durch 2. Differenzialgleichungen: Ansatz vom Typ der rechten Seite | Mathelounge. Diese Reihe konvergiert also, weil die Folge monoton und beschränkt ist. Auch alle anderen allgemeinen harmonischen Reihen für konvergieren. Dort kannst du ähnlich argumentieren. Bei den allgemeinen harmonischen Reihen kannst du also nur bei dem Spezialfall keine Konvergenz feststellen. Eben hast du festgestellt, dass die allgemeinen harmonischen Reihen für konvergieren. Deshalb besitzen diese Reihen auch alle einen Grenzwert. Das ist zum Beispiel der Grenzwert für den Fall. Geometrische Reihe
Neben der harmonischen Reihe gibts es noch einige andere bekannte Funktionenreihen, die du kennen solltest. Die geometrische Reihe ist eine Summe über einen Quotienten q und hat im Allgemeinen die Form.
3 Antworten
Mir wird schleeeeecht! Für eine inhomogene lineare Dgl. Www.mathefragen.de - Ansatz vom Typ der rechten Seite. mit konstanten Koeffizienten kann man einen vereinfachten Ansatz machen, wenn die "rechte Seite" eine Linearkomb. aus $$ exp(ax) (P1 cos(bx + c) + P2 sin(bx + c)) $$ (mit y(x), P1, P2 Polynome, a, b, c in R) ist. Damit: (a) richtig (b) falsch (kein Polynom) (c) richtig (d) falsch (Argument des sin)
Beantwortet
24 Mai 2019
von
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