Mögliche Unterrichtsbausteine
Wiederholung Proportionalität, Antiproportionalität ( Auftrag)
Graphen von Proportionalitäten (im Vergleich dazu von Antiproportionalitäten)
Üben und Festigen der Begriffe mit erstellten Aufgabenkarten (1) ( Vorlage)
Begriff der Steigung ( Auftrag und Vorlage, Anwendungsaufgaben zum Vertiefen und Festigen: z. B. Lineare funktionen übersicht pdf video. aus Mathematikbuch 3, Lernumgebung 18 – S. 41, Nr. 3 und 4)
Geraden ( Einstieg, Vertiefung, Spiel)
Üben und Festigen (2)
Achtung: Bei einigen Aufgaben machen eigentlich nur die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge Sinn. Hier ist es wichtig, mit den SuS über den Modellierungsgedanken zu sprechen und Vor- und Nachteile zu diskutieren. (1) Zu Beginn einer Stunde kommt ein/e Schüler/in nach vorne, zieht eine Karte, entscheidet, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt (oder um keine von beiden, falls solche Karten dabei sind), füllt am OHP eine Wertetabelle aus, skizziert dann den zugehörigen Graphen und gibt die Zuordnungsvorschrift an.
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Die Steigung kann man auf verschiedene Arten lösen, je nachdem was gegeben ist:
1. Zwei Punkte sind gegeben:
Wenn man zwei Punkte (nennen wir sie mal P 1 (x 1 Iy 1) und P 2 (x 2 Iy 2)) gegeben hat, kann man die Steigung folgendermaßen berechnen:
2. Der Graph ist gegeben:
Wenn der Graph gegeben ist, sucht man sich einfach zwei Punkte und dann macht man es wie bei 1.. Oder man macht es mit dem Steigungsdreieck. Wählt euch dazu einen Punkt aus und geht eine
bestimmte Länge (eine mit der ihr einfach rechnen könnt, also z. B. 1 oder 2) nach unten und teilt das durch die Länge, die ihr nach links oder rechts gehen müsst, um wieder beim Graphen zu sein. Wenn ihr nach links geht, ist die Steigung positiv, wenn nach rechts dann negativ:
Negative Steigung, da 2 nach unten und dann nach rechts. Hier ist die Steigung -2, da -2:1=-2 ist. Übersicht zu linearen Funktionen. Positive Steigung, da 2 nach unten und dann nach links. Hier ist die Steigung 2, da 2:1=2 ist. 3. Steigungswinkel ist gegeben:
Wenn der Steigungswinkel des Graphen gegeben ist, lässt sich diese berechnen durch:
m=tan α
4.
Nach der Definition des Betrags folgt aus, dass ist. Nun impliziert die beiden Ungleichungen und. Damit folgen aus die beiden Ungleichungen und. Nach Multiplikation von der Ungleichung mit erhalten wir. Damit haben wir die beiden Bedingungen und. Mit der Antisymmetrie der Kleiner-Gleich-Relation ("Aus und folgt ") erhalten wir. Alternativer Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Gegeben sei. Nach der Definition des Betrags ist. Somit ist oder. Für bzw. gibt es nichts mehr zu beweisen. Andererseits folgt aus bzw., dass ist (Spiegelung bei Bildung des Negativen). Da aber das Negative der Null die Null selbst ist, folgt aus, dass ist. In beiden Fällen oder folgt also, womit dieser Beweisschritt gezeigt ist. Betrag, Maximum und Minimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Multiplizität [ Bearbeiten]
Satz (Multiplizität)
Es ist. Beweis (Multiplizität)
Fall 1: und beliebig
Fall 2: beliebig und
Fall 3: und
Es folgt und damit. Fall 4: und
Es folgt und damit. Wegen ist. Somit haben wir. Fall 5: und
Fall 6: und
Dreiecksungleichung [ Bearbeiten]
Satz (Dreiecksungleichung)
Für alle reellen Zahlen und ist.
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Vertiefung Geraden-Spiel - Vorlage:
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Lösungen
Aus folgt, also und damit. Es ist dann
Fall 2:
Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist
Fall 3:
Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten]
Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:
Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich:
Daraus folgt:
Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Kopiervorlagen. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten]
Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:
Eigenschaft des Betrags
Eigenschaft für den Abstand
Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten]
Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten]
Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also
Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Für ist.
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Beweis (Dreiecksungleichung)
Aus und folgt ("Monotonie der Addition"). Analog folgt aus und, dass, also ist (wiederum "Monotonie der Addition"). Da entweder oder ist, ist auch. Die Dreiecksungleichung werden wir vor allem nutzen, um Abstände nach oben abzuschätzen. In die Differenz kann nämlich ein Term eingeschoben werden, also
Der Abstand kann also über die Abstände und nach oben abgeschätzt werden. Der obige Trick wird in der Analysis häufig verwendet. Abschätzung des Abstands nach unten [ Bearbeiten]
Satz (Abschätzung des Abstands nach unten)
Beweis (Abschätzung des Abstands nach unten)
Es ist
und damit nach Umformung der Ungleichung
Analog folgt aus
die Ungleichung
Insgesamt ist also sowohl als auch kleiner als. Lineare funktionen übersicht pdf gratuit. Damit ist
Betrag des Quotienten [ Bearbeiten]
Satz (Betrag des Quotienten)
Für Quotienten ist
Beweis (Betrag des Quotienten)
Es ist wegen der Multiplizität des Betrags:
Durch Multiplikation von auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir die zu beweisende Gleichung. Alternativer Beweis (Betrag des Quotienten)
Gegeben sei.
Berechnet dann zunächst die Steigung, wie im Punkt darüber beschrieben. Setzt einen Punkt und die Steigung in die allgemeine Funktionsgleichung ein und löst das nach t auf. Setzt jetzt m und t in die allgemeine Funktionsgleichung ein und ihr seid fertig. Eine Gerade geht durch die Punkte A(0|1) und B(1|3). Was ist ihre Funktionsgleichung? Eine Gerade geht durch die Punkte A(1|1) und B(2|2). Lineare funktionen übersicht pdf files. Was ist ihre Funktionsgleichung? Einblenden
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