Funktion $$ f(x) = x + 2 $$ Definitionsbereich (kann an der $x$ -Achse abgelesen werden) $$ \mathbb{D}_f = [0; 2] $$ Wertebereich (kann an der $y$ -Achse abgelesen werden) $$ \mathbb{W}_f = [2; 4] $$ Quadratische Funktionen Aus dem Kapitel Definitionsbereich bestimmen wissen wir, dass quadratische Funktionen in ganz $\mathbb{R}$ definiert sind. Im Gegensatz zu den linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen aber grundsätzlich nicht jeden $y$ -Wert an. Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt: Dabei ist ${\color{red}y_s}$ die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $\text{S}(x_s|{\color{red}y_s})$. Mathe: Definitionsmenge und Wertemenge? (Schule, Mathematik). zu 1) Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt, an dem der Graph der Funktion den höchsten $y$ -Wert (= Hochpunkt) oder den niedrigsten $y$ -Wert (= Tiefpunkt) annimmt. Ob es sich um einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt handelt, lässt sich an dem Vorzeichen von $x^2$ in der Funktionsgleichung erkennen: Ist das Vorzeichen positiv, handelt es sich bei dem Scheitelpunkt um einen Tiefpunkt.
Wertebereich • Wertemenge Bestimmen · [Mit Video]
Die blaue Parabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt. Der Wertebereich ist daher. Wertebereich Polynome höherer Ordnung
im Video zur Stelle im Video springen (02:52)
Allgemein kannst du Polynome
höherer Ordnung immer in zwei Teile gliedern. Dazu betrachtest du den höchsten Exponenten des Polynoms. Er entscheidet, wie sich die Funktion global verhält. Je nachdem, ob dieser Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist, ergibt sich somit auch ein anderer Wertebereich. Polynome ungerader Ordnung verhalten sich dabei ähnlich zu den linearen Funktionen. Wertebereich • Wertemenge bestimmen · [mit Video]. Das ist insofern logisch, dass eine lineare Funktion ja ein Polynom erster Ordnung ist. Der Wertebereich ist hier immer. Ungerade Ordnung bedeutet gerade, dass der größte Exponent des Polynoms eine ungerade Zahl ist. Beispiele dafür sind
Beispiel: Funktionen ungerader Ordnung
Für alle Polynome, bei denen der größte Exponent eine gerade Zahl ist, gehst du analog wie bei den Parabeln vor. Dazu berechnest du das globale Minimum oder Maximum und bestimmst damit den Wertebereich.
Aufgaben Zur Bestimmung Von Definitionsmengen - Lernen Mit Serlo!
Das spricht man so aus: Der Definitionsbereich besteht aus allen x aus den rationalen Zahlen für die gilt, dass x ungleich 0 ist. Der Definitionsbereich ist die Menge aller möglichen Ausgangsgrößen. Manchmal wird der Definitionsbereich auch als Definitionsmenge bezeichnet. Definitionsbereich von Termen Beispiel 3: Bei dem Term $$2/(v-2)$$ steht $$v-2$$ im Nenner. Deshalb untersuchst du, wann der Term $$v-2$$ Null wird: $$v-2=0 | +2$$ $$v=2$$ Das heißt, der Term $$v-2$$ wird für $$v=2$$ Null. Deshalb darfst du für x alle Zahlen aus $$ℚ$$ einsetzen, außer 2. Mathematiker schreiben diese Aussage so auf: $$D=ℚ$$ \ $${2}$$ oder $$D={v \in ℚ| v \ne 2}$$. Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Steht eine Variable im Nenner, schränkst du den Definitionsbereich ein. Dazu überprüfst du, wann der Nenner 0 wird. Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen - lernen mit Serlo!. Später lernst du noch weitere Fälle kennen, bei denen du den Definitionsbereich einschränken musst. Wertebereich von Termen Der Wertebereich $$W$$ eines Terms gibt an, welche Zahlen du als Ergebnis erhalten kannst, wenn du verschiedene Werte für x einsetzt.
Mathe: Definitionsmenge Und Wertemenge? (Schule, Mathematik)
Die Funktionsgleichung ist dabei das Bindeglied zwischen den beiden Mengen: $$ \underbrace{\text{Definitionsmenge}}_{x\text{-Werte}} \underset{y~=~2x}{\longrightarrow} \underbrace{\text{Wertemenge}}_{y\text{-Werte}} $$ Meistens werden bei einer Funktion weder die Definitionsmenge noch die Wertemenge mit angegeben. Man kann dann davon ausgehen, dass die maximal mögliche Definitionsmenge (siehe Kapitel Definitionsbereich bestimmen) gemeint ist. Sobald die Definitionsmenge bestimmt ist, lässt sich die Wertemenge ganz leicht berechnen (siehe Kapitel Wertebereich bestimmen). Schreibweisen Die formale Bezeichnung für eine Wertemenge ist $W$ oder $\mathbb{W}$. Die Wertemenge einer Funktion $f$ heißt $W_f$. Hat die Funktion einen anderen Namen als $f$ wie z. B. $g$ oder $h$, dann heißt die Wertemenge entsprechend $W_g$ oder $W_h$. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Wertemenge einer Funktion anzugeben: Mengenschreibweise Intervallschreibweise Mengenschreibweise Beispiel 2 $$ W = \mathbb{R} $$ Die Wertemenge ist die Menge der reellen Zahlen.
Du darfst also jede Zahl in eine ganzrationale Funktion einsetzen. Zu den ganzrationalen Funktionen zählen
lineare Funktionen
wie f(x) = 2x + 5 oder f(x) = x – 3
quadratische Funktionen
wie f(x) = x 2 + 2x + 4
alle anderen Polynome
wie f(x) = x 4 – 6x 2 + 5x
Hier ist der Definitionsbereich immer der gleiche: Du darfst alle reellen Zahlen einsetzen! Schon gewusst? Eine Ausnahme ist dabei natürlich, wenn der Definitionsbereich von vornherein eingeschränkt wird. Dann betrachtest du beispielsweise f(x) nur auf dem Intervall [a, b]. Das findet insbesondere bei abschnittsweise definierten Funktionen oder in der Integralrechnung
Anwendung. Gebrochen rationale Funktion
im Video zur Stelle im Video springen (01:54)
Anders sieht es bei gebrochen rationalen Funktionen
aus. Das sind Funktionen mit einem Bruch, bei denen im Nenner (also unten im Bruch) ein x vorkommt: zum Beispiel oder. Gebrochen rationale Funktionen
Die Nullstellen des Nenners darfst du also nicht in die Funktion einsetzen. Wenn du nämlich eine der Nullstellen einsetzt, kommt ja im Nenner 0 heraus und du würdest durch 0 teilen — und das darfst du in der Mathematik nicht!
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