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Ich soll zeigen, dass die n te Wurzel aus n gegen 1 geht für n gegen Unendlich. Ich habe jetzt bis n < (1+e) n umgeformt. Ich weiß, dass ich das jetzt mit dem Binomialsatz umschreiben kann, aber wie mir das weiterhelfen soll weiß ich leider nicht. Www.mathefragen.de - Beweis n-te Wurzel aus n konvergiert gegen 1. Vielen Dank für Hilfe:)
Gefragt
24 Nov 2016
von
Schau mal bei den ähnlichen Fragen Das hier bei sollte passen. 2 Antworten
Grenzwert: lim (n → ∞) n^{1/n} lim (n → ∞) n^{1/n} = lim (n → ∞) EXP(LN(n^{1/n})) = lim (n → ∞) EXP(1/n * LN(n)) = lim (n → ∞) EXP(LN(n) / n) Wir kümmern uns erstmal nur um den Exponenten lim (n → ∞) LN(n) / n L'Hospital lim (n → ∞) (1/n) / 1 = lim (n → ∞) 1/n = 0 Nun betrachten wir wieder die ganze Potenz lim (n → ∞) EXP(LN(n) / n) = lim (n → ∞) EXP(0) = 1
Beantwortet
25 Nov 2016
Der_Mathecoach
416 k 🚀
Nte Wurzel Aus N Konvergenz
Aus der Eindeutigkeit der Wurzel folgt für, :
Für,
ist. Es seien,,,. Wenn,
dann ist. definiert man:. Satz 2. 17 (Bernoullische Ungleichung für die Wurzel)
Für,, und
gilt:. Beweis. Wir setzen. Dann ist. Nach Bernoulli () folgt
Wenden wir die soeben gezeigt Ungleichung an, so folgt:. Beweis. Der Fall ist klar. Wenn der Grenzwert,
so gibt es ein
so daß
für. Die Behauptung folgt nun aus der Bernoullischen Ungleichung:. Feststellung 2. 19
Es sei,. Dann ist. Die Folge
ist
Bemerkung:
Die Konvergenz
folgt aus der Bernoullischen
Ungleichung:
Für gilt:. Beispiel. Beweis. Für setze man
mit
und wende die Bernoullische Ungleichung
an:. Also ist. Im Falle ist
und aus
folgt die strenge Monotonie der Folge:. Im Falle sind die Kehrwerte
streng monoton fallend. Feststellung 2. 20
Die Folge, (), ist
streng monoton fallend und es ist
Bemerkung. Die Behauptungen folgen aus der Abschätzung
für
Beweis. N te wurzel aus n scale. Nach Lemma gilt
Wir setzen..
mbert
2001-02-09
N Te Wurzel Aus N Scale
Aloha:) Eine Folge \((a_n)\) konvergiert gegen den Grenzwert \(a\), wenn es für alle \(\varepsilon\in\mathbb R^{>0}\) ein \(n_0\in\mathbb N\) gibt, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\). In den Beweis wurde dies auf die Forderung \(n\stackrel! <(1+\varepsilon)^n\) zurückgeführt. In dem Folgenden geht es dann darum, ein \(n_0\) zu finden, ab dem diese Forderung für alle weiteren \(n\) gültig ist. Ich finde den Beweis auch eher verwirrend und umständlich. Nte wurzel aus n konvergenz. Mit der Bernoulli-Ungleichung$$(1+x)^n\ge1+nx\quad\text{für}x\ge-1\;;\;n\in\mathbb N_0$$erhält man schnell folgende Abschätzung: $$\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\ge1+\frac{n}{\sqrt n}=1+\sqrt n>\sqrt n=n^{1/2}\quad\implies$$$$\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}=\left(n^{1/2}\right)^{\frac{2}{n}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\right)^{\frac{2}{n}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^2=1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac 1n\le1+\frac{3}{\sqrt n}$$ Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\), so gilt:$$\left|\sqrt[n]{n}-1\right|\le\left|1+\frac3{\sqrt n}-1\right|=\frac3{\sqrt n}\stackrel!
N Te Wurzel Aus N O
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N Te Wurzel Aus N.S
Aloha:) Wegen \(n\ge1\) ist \(\sqrt[n]{n}\ge1\).
= ln(1/n) + ln(n! ) /n = ln(1/n) + ln(\( \sqrt[n]{n! } \)) Da n gegen unendlich strebt, strebt 1/n gegen Null und somit ln(1/n) gegen -∞. Da ∫lnx in den Grenzen 0 bis 1 = 1 gilt, kann ln(\( \sqrt[n]{n! } \)) kein endliche Wert sein, sondern muss gegen ∞ streben. 25 Feb
derButterkeks