Was ist der Satz des Pythagoras? Mit dem Satz des Pythagoras werden Strecken in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet. Der Satz des Pythagoras kann nur auf rechtwinklige Dreiecke angewendet werden - also Dreieck mit einem 90° Winkel. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, bezeichnet man als Hypotenuse (c) und die beiden einschließenden Seiten der Hypotenuse heissen Katheten (a, b). Satz des Pythagoras:
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die beiden Quadrate über den Katheten haben zusammen den gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat über der Hypotenuse. Satz des Pythagoras Aufgaben und Anwendung
Berechne Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck
Aufgabe
Lösung
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Maßen $a = 6 cm$ und $b = 4 cm$. Berechne die Länge der Hypotenuse $c$. Pythagoras 5. Jahrgangsstufe - Realschule Bayern - Arbeitsheft mit interaktiven Übungen auf scook.de von Cornelsen Verlag GmbH - Buch24.de. $ c^2 = a^2 + b^2 $
$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $
$ c = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7, 2 cm $
Berechne Streckenlänge im Koordinatensystem
Gegeben sind die Punkte $A(1|2)$ und $B(3|4)$. Berechne die Strecke $\overline{AB}$.
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$ A(x_A|y_A), B(x_B|y_B) $
$ \overline{AB}^2 = \overline{AC}^2 + \overline{CB}^2 $
$ \overline{AC} = x_B - x_A $
$ \overline{CB} = y_B - y_A $
$ \overline{AB}^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 $
$ \overline{AB} = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{4 +4} = \sqrt{8} $
$ \overline{AB} \approx 2, 8 $
Satz des Pythagoras Beweis
Geometrischer Beweis durch Ergänzung (Wikipedia): In ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist. Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge $a + b$). Satz des Pythagoras einfach erklärt: Formel, Beispiele, Aufgaben. Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge $c$, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ und einem mit Seitenlänge $b$. Die Fläche $c^{2}$ entspricht also der Summe der Fläche $a^{2}$ und der Fläche $b^{2}$, also $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)
Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild.
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Lehrer Strobl
28 Dezember 2020
#Satz des Pythagoras, #9. Klasse
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