B. "Erfolg -- Nichterfolg" "Treffer -- Niete" "0 -- 1". Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis). Bernoulli-Kette der Länge n:
Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind. Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit p r · q n-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist. In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an. Ein Würfel wird 4 Mal geworfen. Freistetters Formelwelt: Das faule Universum - Spektrum der Wissenschaft. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an. Ein Würfel wird 4 Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an. Aus der Tabelle "Binomialverteilung kumulativ" können Wahrscheinlichkeiten der Art P( Z ≤ k) abgelesen werden.
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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Binomialkoeffizienten
Der Binomialkoeffizient gibt in Bernoulli-Ketten die Anzahl der Pfade an, bei n Durchführungen genau r Treffer zu erhalten. Dies wird bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten benötigt. Schreibweise:
wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
Gelesen: "n über r"
Berechnung: mithilfe der nCr-Taste deines Taschenrechners, also zuerst n eingeben, dann nCr-Taste drücken, dann r eingeben. Ohne Taschenrechner:
Zähler: n · (n-1) · (n-2) ·... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
Nenner: 1 · 2 · 3 ·... · r [ebenfalls r Faktoren]
Kürzen (bis der Nenner 1 ist! ), dann verbliebenen Zähler berechnen. Bernoulli-Kette - Stochastik - Abitur-Vorbereitung. Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind. Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:
Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.
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Einige Aufgaben, bei denen es sich um einen Bernoulli-Prozess handelt:
Ziehen mit Zurücklegen
Würfeln
Glücksrad
Roulette
Bernoulli-Kette
Die Bernoulli-Kette erlaubt es uns, einen Bernoulli-Prozess einfach auszurechnen:
Definition
p ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt;
n ist die Anzahl der Versuche (auch Länge der Bernoulli-Kette genannt);
k ist die Anzahl der Treffer, die wir erzielen wollen;
P ( X = k) sagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer errechnen wollen
Beispiel
In einer Urne befinden sich 9 Kugeln. Davon sind 5 schwarz und die restlichen 4 weiß. Bernoulli kette mehr als 1200 neue. Wir entnehmen eine Kugel, notieren die Farbe, und legen die Kugel wieder zurück in die Urne. Dies machen wir 5 mal. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter unseren fünf Ziehungen zwei weiße Kugeln befinden? Normalerweise würden wir mit Brüchen die Wahrscheinlichkeit berechnen. Wir müssten selbst dafür sorgen, dass alle möglichen Reihenfolgen berücksichtigt werden:
Dank der Bernoulli-Kette können wir die Wahrscheinlichkeit mit einer einzigen Formel einfach und zuverlässig ausrechnen:
Mindestwahrscheinlichkeit
Zum Hauptartikel Mindestwahrscheinlichkeit
Die Bernoulli-Kette erlaubt es uns auch, auf schnelle und einfache Weise die Mindestwahrscheinlichkeit zu berechnen.
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Der Roboter entscheidet bei jedem Schritt neu in welche Richtung er sich bewegt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts beträgt dabei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter zur Ladestation, die sich bei befindet? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter dabei über die Messstation zur Ladestation? Lösung zu Aufgabe 2
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur interessiert, ob der Roboter nach rechts () oder nach oben geht. Die Wahrscheinlichkeit bleibt die ganze Zeit über gleich. Um nach zu gelangen muss der Roboter insgesamt 7 Schritte nach rechts und 6 Schritte nach oben gehen. Damit ergibt sich:
Bei einer Ausführung von 13 Schritten muss er also 7 Schritte in -Richtung gehen. Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zu gelangt, wie folgt berechnen:
Der Roboter gelangt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr zur Ladestation. Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung. Der Weg des Roboters muss nun in zwei Teilwege zerlegt werden. Der Weg zur Messstation erfordert Schritte, von denen 5 nach rechts gesetzt werden müssen.
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Es wird fünf Mal mit einem idealen Würfel gewürfelt. Bernoulli kette mehr als video. Das Erzielen einer Sechs gelte als Erfolge, alles andere als Misserfolg. Die folgende Tabelle gibt die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge an. Anzahl der Erfolge S n Wahrscheinlichkeit 0 ( 5 0) ⋅ ( 1 6) 0 ⋅ ( 5 6) 5 ≈ 0, 401877572 ≈ 40, 2% 1 ( 5 1) ⋅ ( 1 6) 1 ⋅ ( 5 6) 4 ≈ 0, 401877572 ≈ 40, 2% 2 ( 5 2) ⋅ ( 1 6) 2 ⋅ ( 5 6) 3 ≈ 0, 160751028 ≈ 16, 1% 3 ( 5 3) ⋅ ( 1 6) 3 ⋅ ( 5 6) 2 ≈ 0, 032150205 ≈ 3, 2% 4 ( 5 4) ⋅ ( 1 6) 4 ⋅ ( 5 6) ≈ 0, 00321502 ≈ 0, 3% 5 ( 5 5) ⋅ ( 1 6) 5 ⋅ ( 5 6) 0 ≈ 0, 0001286 ≈ 0, 01% Relativ einfach lässt sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg angeben. In diesem Fall gilt: P ( mindestens ein Erfolg) = 1 − ( 1 − p) n Die Wahrscheinlichkeit, beim fünfmaligen Würfeln mindestens eine Sechs zu haben, ist somit 1 − ( 5 6) 5 ≈ 59, 8%, würfelt man zehnmal erhöht sie sich auf 1 − ( 5 6) 10 ≈ 83, 8%.
Du überprüfst zwanzig Beutel. Wenn darunter drei oder mehr kein feines weißes Zeug enthalten, dann "
Und auch Evil Emma streicht mit ihrem Zeigefinger über ihre Kehle. Bad Max schwitzt wie ein Hund, denn er hat tatsächlich zehn Prozent der Päckchen nicht mit feinem weißen Zeug befüllt. Bad Max überlegt. Bad Max rechnet. Soll er sich für Really Bad Johns oder für Evil Emmas Vorschlag entscheiden? Lösung zu Aufgabe 3
Die Wahrscheinlichkeit für ein Päckchen ohne feines weißes Zeug beträgt. Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass Really Bad John und Evil Emma davon ausgehen, dass sich in mehr als der Beutel kein feines weißes Zeug befindet. Really Bad John überprüft Beutel. Dann gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Really Bad John dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr. Evil Emma überprüft Beutel. Bernoulli kette mehr als mac. Dann gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Evil Emma dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr. Bad Max sollte damit die Variante von Evil Emma wählen.