Da sich ein solches maximales Element wieder als eine Basis von
erweist, ist gezeigt, dass man jede Menge linear unabhängiger Vektoren zu einer
Basis von
ergänzen kann. Diese Aussage nennt man Basisergänzungssatz. Weitere Aussagen über Basen
Eine lineare
Abbildung eines Vektorraums in einen anderen Vektorraum ist bereits
durch die Bilder der Basisvektoren vollständig bestimmt. Jede beliebige Abbildung der Basis in den Bildraum definiert eine
lineare Abbildung. verschiedene Basen. Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen
Reelle und komplexe Vektorräume tragen meist zusätzliche topologische
Struktur. Aus dieser Struktur kann sich ein Basisbegriff ergeben, der vom hier
beschriebenen abweicht. Www.mathefragen.de - Basis von Vektoren ergänzen. Basis
und duale Basis im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum
In der klassischen
Mechanik wird der Anschauungsraum mit dem drei-dimensionalen euklidischen
Vektorraum (V³, ·) modelliert,
wodurch dieser eine besondere Relevanz bekommt. Euklidische Vektorräume sind
u. a. dadurch definiert, dass es in ihnen ein Skalarprodukt "·" gibt,
wodurch diese Vektorräume besondere und erwähnenswerte Eigenschaften erhalten.
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Hat bezüglich der Basis die Darstellung
so gilt
für
denn
und damit
Im Beispiel 2 oben gilt für den Vektor:
Das Skalarprodukt [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In Koordinaten bezüglich einer Orthonormalbasis hat jedes Skalarprodukt die Form des Standardskalarprodukts. Genauer:
Ist eine Orthonormalbasis von und haben die Vektoren und bezüglich die Koordinatendarstellung
und, so gilt
im reellen Fall, bzw.
im komplexen Fall. Orthogonale Abbildungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ist eine orthogonale (im reellen Fall) bzw. eine unitäre Abbildung (im komplexen Fall) und ist eine Orthonormalbasis von, so ist die Darstellungsmatrix von bezüglich der Basis eine orthogonale bzw. eine unitäre Matrix. Vektoren zu basis ergänzen sie. Bezüglich beliebiger Basen ist diese Aussage falsch. Unendlichdimensionale Räume [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein Prähilbertraum und sei die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Eine Teilmenge heißt Orthonormalsystem, falls und für alle mit gilt.
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Flächen:
Volumen:
(auf drei Dezimalstellen gerundet)
automatisch erstellt
am 11. 8. 2017
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$A(x|y)$ ist die Koordinatendarstellung eines Punktes. Punkt Der Punkt $A(3|2)$ ist
$3$ Längeneinheiten in $x$ -Richtung und
$2$ Längeneinheiten in $y$ -Richtung
vom Koordinatenursprung $O(0|0)$ entfernt. Abb. 11 / Punkt im Koordinatensystem Zur Unterscheidung von Punktkoordinaten schreiben wir Vektorkoordinaten untereinander. $\vec{a} = \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}$ ist die Koordinatendarstellung eines Vektors. Basis eines Vektorraums - Mathepedia. Vektor Der Vektor $\vec{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$ beschreibt
die Menge aller Pfeile, deren Endpunkte
vom Anfangspunkt entfernt sind. Abb. 12 / Vektor im Koordinatensystem In vielen Aufgabenstellungen geht es darum, die Koordinatendarstellung des Vektors, der zwei gegebene Punkte miteinander verbindet, zu bestimmen. Das ist besonders einfach, wenn der Anfangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung $O(0|0)$ des Koordinatensystems liegt. Ortsvektor Der Ortsvektor $\overrightarrow{OA}$ von $A$ hat dieselben Koordinaten wie $A$: $$ A(x|y) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ Für $A(3|2)$ gilt: $$ A(3|2) \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} $$ Liegt der Anfangspunkt nicht im Ursprung, kommen wir um eine Berechnung nicht herum.
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Dann erhält man analog, dass jedes Orthonormalsystem zu einer Orthogonalbasis ergänzt werden kann. Alternativ lässt sich das Gram-Schmidt-Verfahren auf oder eine beliebige dichte Teilmenge anwenden und man erhält eine Orthonormalbasis. Jeder separable Prähilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis. Hierfür wähle man eine (höchstens) abzählbare dichte Teilmenge und wende auf diese das Gram-Schmidt-Verfahren an. Hierbei ist die Vollständigkeit nicht notwendig, da stets nur Projektionen auf endlichdimensionale Unterräume durchzuführen sind, welche stets vollständig sind. Hierdurch erhält man eine (höchstens) abzählbare Orthonormalbasis. Vektoren zu basis ergänzen van. Umgekehrt ist auch jeder Prähilbertraum mit einer (höchstens) abzählbaren Orthonormalbasis separabel. Entwicklung nach einer Orthonormalbasis [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis hat die Eigenschaft, dass für jedes die Reihendarstellung
gilt. Diese Reihe konvergiert unbedingt. Ist der Hilbertraum endlichdimensional, so fällt der Begriff der unbedingten Konvergenz mit dem der absoluten Konvergenz zusammen.
Mit
wird die durch das Skalarprodukt induzierte
Norm bezeichnet. Definition und Existenz
Unter einer Orthonormalbasis eines -dimensionalen
Innenproduktraums
versteht man eine Basis
von,
die ein Orthonormalsystem
ist, das heißt:
Jeder endlichdimensionale Vektorraum mit Skalarprodukt besitzt eine
Orthonormalbasis. Mit Hilfe des Gram-Schmidtschen
Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich jedes Orthonormalsystem zu
einer Orthonormalbasis ergänzen. Da Orthonormalsysteme stets linear
unabhängig sind, bildet in einem -dimensionalen
Innenproduktraum ein Orthonormalsystem aus
Vektoren bereits eine Orthonormalbasis. Vektoren zu basis ergänzen for sale. Händigkeit der Basis
Gegeben sei eine geordnete Orthonormalbasis
von. Dann ist die Matrix
gebildet aus den als Spaltenvektoren notierten Vektoren
orthogonal
und hat deshalb die Determinante
+1 oder −1. Falls
bilden die Vektoren
ein Rechtssystem. Beispiele
Die
Orthonormalbasis
im
und ein mit ihr dargestellter Vektor
Beispiel 1
Die Standardbasis
des,
bestehend aus den Vektoren
ist eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen euklidischen
Vektorraums
(ausgestattet mit dem Standardskalarprodukt):
Sie ist eine Basis des,
jeder dieser Vektoren hat die Länge 1, und je zwei dieser Vektoren stehen
senkrecht aufeinander, denn ihr Skalarprodukt
ist 0.
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