Herne
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Zuletzt aktualisiert: 01 Mai 2022, 08:26
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Inhalt Was sind ungerade Zahlen? Was sind gerade Zahlen? Gerade Zahlen erkennen – Aufteilen in Zweiergruppen Gerade Zahlen erkennen – anschaulich Eigenschaften gerader Zahlen Kurze Zusammenfassung zum Video Gerade und ungerade Zahlen
Was sind ungerade Zahlen? Wir wollen uns heute damit beschäftigen, wie man ungerade Zahlen erkennen kann. Aber wann ist eine Zahl eigentlich ungerade? Ungerade Zahlen – Definition
Man sagt, eine Zahl ist ungerade, wenn man sie nicht gleichmäßig auf zwei Personen aufteilen kann. Stell dir zum Beispiel vor, du hast sieben Bonbons und willst sie mit einem Klassenkameraden gerecht teilen. Nacheinander gibst du jedem von euch je ein Bonbon. Nach der dritten Runde hat dann jeder genau drei Bonbons, aber eines ist noch übrig. Sieben Bonbons lassen sich nicht gleichmäßig aufteilen, es bleibt ein Rest von eins übrig. Die Sieben ist deswegen eine ungerade Zahl. Hättest du ein Bonbon mehr, also acht, bekäme jeder vier Bonbons und keines bliebe übrig. Die Acht ist wieder eine gerade Zahl.
Ist Null Eine Gerade Zahl
Also ist die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis gerade Zahl zu trifft, eins. Die Anzahl unserer möglichen Ergebnisse ist Omega Betrag, also 3. Mathematisch zusammengefasst ist das dann die Eintrittswahrscheinlichkeit P für das Ereignis Gerade Zahl. Mathematisch geschrieben schaut das Ganze so aus:
P(X=Gerade Zahl) = 1/3. Die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu drehen liegt bei eins durch drei also einem Drittel. Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeit
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist im Grunde das Bestimmen der relativen Häufigkeit. Man kann sie in Prozent, als Bruch oder als Dezimalzahl schreiben. Bezogen auf unser Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl am Glücksrad also 33% oder 1/3 oder 0, 33. Beispiel Münzwurf
Schauen wir uns gleich ein zweites Beispiel an. Stell dir vor du wirfst eine Münze. Was ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf? Die Ergebnismenge ist
Ω = { Kopf, Zahl}
Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist zwei:
| Ω | = 2
die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist eins (Kopf).
Was Ist Eine Gerade Zahl E
Wahrscheinlichkeit Beispiel Glücksrad im Video zur Stelle im Video springen (02:34)
Stell dir vor du drehst einmal an einem Glücksrad mit drei gleich großen Flächen, auf denen die Zahlen 1, 2, und 3 stehen. Wie lässt sich das mathematisch ausdrücken? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit etwa eine 2 zu erhalten? Bei unserem Experiment können die Ergebnisse 1, 2, oder 3 vorkommen. Dies nennt man den Ergebnisraum oder Stichprobenmenge, geschrieben als Omega. Er umfasst alle möglichen Ergebnisse, in unserem Fall eins, zwei und drei. Mathematisch schreibt man die möglichen Ergebnisse in geschweifte Klammern und mit einem Omega:
Ω = { 1, 2, 3}
Der Betrag von Omega sagt in diesem Fall wie viele Ergebnisse möglich sind, die Anzahl der Ergebnisse also. Für unser Beispiel sind das drei. | Ω | = 3
Doch was ist nun die Eintrittswahrscheinlichkeit von konkreten Ergebnissen? Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass du eine gerade Zahl drehst? Na logisch: Ein Drittel. Aber um das mathematisch zu berechnen, musst du eine bestimmte Schreibweise beachten.
Ist 5 Eine Gerade Zahl
Schau dir auch unsere Weiteren Artikel zu diesem Thema an. Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
Für Wahrscheinlichkeiten sind 5 Rechenregeln wesentlich, die sich aus den Kolmogorov Axiomen ergeben. P(Ω) = 1: Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit von allen möglichen Ergebnissen zusammengerechnet, also der Ergebnismenge, 1 entspricht
P() = 1 – P (E): Das heisst die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis ist 1 minus der Eintrittswahrscheinlichkeit des eigentlichen Ereignisses. Unvereinbare Ereignisse Additionsregel: P(E F) = P(E) + P(F) Die Rechenregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignisse, die keine gemeinsame Ergebnisse beinhalten, addiert werden, dies dem Ereignis entspricht, dass entweder P(E) oder P(F) eintritt. Satz von Sylvester (Vereinbarkeit von Ereignissen): P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F) Der Satz von Sylvester beschreibt, dass zwei Ereignisse unabhängig sind. Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse: P(E) P(F) = P(E F) Diese Regel gilt nur für unabhängige Ereignisse
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Hier erfährst du, was Wahrscheinlichkeit ist und wie du Aufgaben dazu lösen kannst. Schau dir auch unser Video
zu dem Thema an! Wahrscheinlichkeit einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:16)
Schau dir zuerst an, was die Wahrscheinlichkeit eigentlich aussagt:
Definition
Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sehr etwas zutrifft oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eines Zufallsexperiments eintritt, liegt zwischen 0 und 1. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit Sicherheit zutrifft mit 1 (bzw. 100%), und dass ein Ereignis nicht eintritt mit 0 (bzw. 0%) bezeichnet. Die Summe der Eintrittswahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist stets 1 (bzw. 100%). Die Wahrscheinlichkeit (auf Englisch probability) ist also ein Maß, das bestimmt wie sehr erwartet wird, dass genau dieses Ereignis eintritt. Mathematisch geschrieben wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X ausgedrückt als P(X). Sie kann Werte im Bereich zwischen [0, 1] annehmen.
Eine Gerade Zahl
Die Wahrscheinlichkeit, dass du Kopf wirfst ist
P(Kopf) = 1 / 2 = 0, 5 = 50%
Wahrscheinlichkeit berechnen für Würfel (schwieriges Beispiel) im Video zur Stelle im Video springen (03:27)
Zu guter Letzt betrachten wir noch ein etwas schwierigeres Beispiel. Angenommen du hast zwei Laplace-Würfel. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf eine Augensumme zu werfen, die höher als 7 ist? Wir werfen also zwei Würfel, zählen die Augen zusammen und dieses Ergebnis soll höher als sieben sein. Ermitteln wir zunächst die Ergebnismenge:
Ω = { (1, 1) (1, 2) (2, 1) (1, 3) (3, 1) (1, 4) (4, 1) (1, 5) (5, 1) (1, 6) (6, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 2) (2, 4) (4, 2) (2, 5) (5, 2) (2, 6) (6, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 3) (3, 5) (5, 3) (3, 6) (6, 3) (4, 4) (4, 5) (5, 4) (4, 6) (6, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6)}
Alternativ können wir auch 6 mal 6 rechnen (alle möglichen Ergebnisse des ersten Würfels mal alle möglichen Ergebnisse des zweiten Würfels). Die Anzahl der möglichen Ergebnisse ist
| Ω | = 36
Die Ergebnisse, deren addierte Augensumme höher ist als 7, also alle günstigen Ergebnisse sind
E = (2, 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) (3, 6) (6, 3) (4, 4) (4, 5) (5, 4) (4, 6) (6, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 5) (6, 6) = 15
Die Wahrscheinlichkeit mit zwei Würfel ein Ergebnis zu würfeln, das größer als sieben ist, lässt sich deshalb so ermitteln:
P(Summe > 7) = 15 / 36 = 0, 4166667 = 41, 67%
Wahrscheinlichkeit für einen Würfelwurf (schwieriges Beispiel)
Die Wahrscheinlichkeit kannst du nun ohne Probleme bestimmen.
EDIT: Rechtschreibfehler beseitigt
23. 2006, 01:26
zt
Lösungen vom laufenden Bundeswettbewerb zu posten ist hier nicht erlaubt, und wenn du's doch machst, dann verpack' dein Problem ordentlich mit Schleifchen. Btw. : Ist der Beweis nicht vollständig und nicht die einzige Lösg. ^^
23. 2006, 01:28
Spielst Du auf das Farbspiel an, oder meine Ausführungen zu den geraden/ungeraden Zahlen? Keine Sorge, ich bin nicht "teilnahmeberechtigt"
23. 2006, 01:35
Auf die Aufgabe (2), also das Farbspiel. Dein Beweis ist sicherlich okay. Dass du nicht teilnahmeberechtigt bist, das ist mir schon klar, aber viele andere, die das hier lesen schon. Und Sinn ist es ja nicht, die laufenden Aufgaben im Forum gemeinsam zu lösen oder lösen lassen, sondern selbst kreativ sein. Wenn man merkt, dass man die Aufgaben vom aktuellen BuMa nicht lösen kann, dann bereitet man sich eben ein Jahr intensiv vor und versucht es einfach beim nexten Mal. 23. 2006, 01:43
Bin prinzipiell auch dagegen, dass hier Wettbewerbs-Aufgaben bearbeitet werden.