Diese Eigenschaften werden in der Analysis genutzt, um obere bzw. untere Schranken auszurechnen. Wenn beispielsweise eine Variable gleichzeitig größer oder gleich und größer oder gleich sein soll, so definieren wir. Dann ist nämlich garantiert, dass und. To-Do:
Abschnitt muss ausgebaut werden:
Frage muss beantwortet werden: Warum sind die obigen Äquivalenzen charakteristisch für das Maximum und das Minimum? Betrag [ Bearbeiten]
Verlauf der Betragsfunktion. Der Betrag (auch Betragsfunktion oder Absolutbetrag genannt) gibt den Abstand einer Zahl zur Null zurück. Er ist definiert über:
Definition (Betrag)
Der Betrag einer reellen Zahl ist definiert durch
ist der Abstand zwischen und. In der Analysis werden wir den Betrag vor allem in der Form kennen lernen. Lineare funktionen übersicht pdf ke. Dieser Term gibt den Abstand der Zahlen und und damit eine Art "Fehler" zwischen und wieder. In der Analysis werden wir diesen Abstand verwenden, um das Konzept des Grenzwertes zu beschreiben. Verständnisfrage: Warum ist? Wegen Trichotomie ist entweder, oder.
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Nachdem wir in den vergangenen Kapiteln die Anordnungsaxiome eingeführt haben, führen wir nun die ersten Begriffe ein, die direkt auf der Ordnung der reellen Zahlen aufbauen. Maximum und Minimum [ Bearbeiten]
Definition [ Bearbeiten]
Das Maximum zweier Zahlen gibt die größere der beiden Zahlen zurück, während das Minimum die kleinere Zahl zurückgibt. Beide Funktionen sind folgendermaßen definiert:
Es ist genauso möglich, das Maximum und Minimum von endlich vielen Zahlen anzugeben. Lineare funktionen übersicht pdf com. Hierzu definieren wir
und
Beachte, dass es nur möglich ist, das Maximum und Minimum von endlichen Mengen auszurechnen. Für eine Verallgemeinerung des Maximums und Minimums auf unendliche Mengen werden wir später die Begriffe vom "Supremum" und vom "Infimum" einführen. Charakteristische Eigenschaften von Minimum und Maximum [ Bearbeiten]
Das Maximum und das Minimum erfüllen folgende Eigenschaften für beliebige reelle Zahlen, und, welche für diese Funktionen charakteristisch sind:
Satz (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten. )
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Aus folgt, also und damit. Es ist dann
Fall 2:
Ist, dann ist auch, weil Null ihr eigenes Negative ist. Entsprechend ist
Fall 3:
Charakteristische Eigenschaft [ Bearbeiten]
Für das Maximum und Minimum haben wir folgende charakteristische Eigenschaft kennen gelernt:
Aus dieser können wir eine für Beweise nützliche Eigenschaft für Beträge ableiten. Ersetzt man nämlich durch, ergibt sich:
Daraus folgt:
Es ist also genau dann, wenn und ist. Analog ist genau dann, wenn und. Eigenschaften (Übersicht) [ Bearbeiten]
Es folgt eine Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften des Betrags. Lineare funktionen übersicht pdf english. Dabei habe ich auch die Form aufgeführt, die dir in den Beweisen der Analysis oft begegnen wird:
Eigenschaft des Betrags
Eigenschaft für den Abstand
Beweise der Betragseigenschaften [ Bearbeiten]
Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null [ Bearbeiten]
Satz (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Es ist genau dann der Betrag einer Zahl 0, wenn die Zahl selbst 0 ist. Es gilt also
Beweis (Die Null ist die einzige Zahl mit Betrag null)
Für ist.
Mögliche Unterrichtsbausteine
Wiederholung Proportionalität, Antiproportionalität ( Auftrag)
Graphen von Proportionalitäten (im Vergleich dazu von Antiproportionalitäten)
Üben und Festigen der Begriffe mit erstellten Aufgabenkarten (1) ( Vorlage)
Begriff der Steigung ( Auftrag und Vorlage, Anwendungsaufgaben zum Vertiefen und Festigen: z. B. aus Mathematikbuch 3, Lernumgebung 18 – S. Übersicht zu linearen Funktionen. 41, Nr. 3 und 4)
Geraden ( Einstieg, Vertiefung, Spiel)
Üben und Festigen (2)
Achtung: Bei einigen Aufgaben machen eigentlich nur die natürlichen Zahlen als Definitionsmenge Sinn. Hier ist es wichtig, mit den SuS über den Modellierungsgedanken zu sprechen und Vor- und Nachteile zu diskutieren. (1) Zu Beginn einer Stunde kommt ein/e Schüler/in nach vorne, zieht eine Karte, entscheidet, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt (oder um keine von beiden, falls solche Karten dabei sind), füllt am OHP eine Wertetabelle aus, skizziert dann den zugehörigen Graphen und gibt die Zuordnungsvorschrift an.