Geometrische Folgen sind Zahlenfolgen in der Mathematik, bei denen benachbarte Folgenglieder immer den gleichen Quotienten haben. Jedes weitere Folgenglied entsteht, indem man das vorangehende Glied mit dem gleichen Wert multipliziert. Beispiel: 1, 3, 9, 27, 81,... ist eine geometrische Folge, in der jedes weitere Folgenglied entsteht, indem das vorangehende mit 3 multipliziert wird. Der Unterschied zu arithmetischen Folgen: Bei arithmetischen Folgen haben benachbarte Folgenglieder immer die gleiche Differenz. Hier wird also immer der gleiche Wert addiert. Mit diesem Online-Rechner können Sie geometrische Folgen berechnen. Geben Sie dazu Folgendes vor:
Das Start-Folgenglied, welchen (konstanten) Quotienten die Folgenglieder haben sollen, und welcher Teilbereich der geometrischen Folge berechnet werden soll. Klicken Sie dann auf Berechnen. Geometrische Summenformel • einfach erklärt · [mit Video]. Das Ergebnis zeigt die Folgenglieder der daraus berechneten geometrischen Folge, mit Nummerierung der Folgenglieder. Das Start-Folgenglied trägt immer die Nummer 0.
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Dabei zeigst du, dass die geometrische Summenformel für alle gilt. 1. ) Induktionsanfang:
Im ersten Schritt musst du zeigen, dass die Formel für gilt. Dafür setzt du den Wert einfach auf beiden Seiten der Gleichung ein. Die linke und die rechte Seite der Formel liefern das gleiche Ergebnis, die Gleichung stimmt also. 2. Geometrische reihe rechner sault ste marie. ) Induktionsschritt:
Jetzt nimmst du einmal an, dass die Formel für irgendein n gilt und gehst über zu n+1. Induktionsvoraussetzung:
Nehme an, dass für ein beliebiges gilt. Induktionsbehauptung:
Dann gilt für:
Induktionsschluss:
Hier musst du nun zeigen, dass die Gleichung aus der Induktionsbehauptung auch wirklich stimmt. Starte dafür auf der linken Seite und ziehe das letzte Glied aus der Summe heraus. Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung nutzen und musst nur noch geschickt zusammenfassen. Damit ist der Induktionsbeweis abgeschlossen und du hast gezeigt, dass die geometrische Summenformel wirklich für alle natürlichen Zahlen gilt. Geometrische Summe Anwendung
Die geometrische Summenformel kannst du tatsächlich in den verschiedensten Fällen anwenden.
Die weiteren Folgenglieder tragen die Nummern 1, 2, 3 usw. Mathematisch lässt sich das Bildungsgesetz jeder arithmetischen Folge sowohl explizit als auch rekursiv darstellen. Mit der expliziten Darstellung lässt sich jedes Folgenglied aus dem Start-Folgenglied und dem konstanten Quotienten direkt berechnen. Geometrische reihe rechner 23. Bei der rekursiven Definition geht man vom vorangehenden Folgenglied aus und multipliziert mit dem konstanten Quotienten. Trivia: Die einzelnen Folgenglieder einer geometrischen Folge sind gerade das geometrische Mittel ihrer benachbarten Folgenglieder – daher der Name.