Das Vorgehen ist hier zunächst wieder ähnlich wie unter Punkt 1 (Gerade liegt in Ebene), da man auch hier erstmal schauen muss, ob Gerade und Ebene überhaupt parallel sind. Grundsätzlich laufen dazu alle Schritte gleich ab wie unter Punkt 1, aber mit einem Unterschied: Wenn man prüft, ob ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt, dann muss man ein unwahres Ergebnis erhalten. Das heißt, dass ein Punkt der Geraden nicht in der Ebene liegen darf. Denn laufen Ebene und Gerade in ähnliche Richtungen (also nicht "schief" wie wenn sie sich schneiden), dann gibt es nur die beiden Möglichkeiten, dass entweder alle Punkte von der Geraden in der Ebene sind (Gerade liegt in Ebene), oder dass kein Punkt der Geraden in der Ebene liegt (Gerade ist parallel zur Ebene). Also: Alles wie bei Punkt eins, nur wenn man testet ob ein Punkt der Geraden in der Ebene liegt, dann muss man ein unwahres Ergebnis erhalten. Beispiel: Gegeben sind eine Ebene und eine Gerade. Aus der Ebene kann man schnell den Normalenvektor (n) herausfiltern:
1.
Gerade Und Ebene Parallel Movie
09. 2006, 19:39
Kannst du mir vielleicht auch erklären, warum der Normalvektor der Ebene mal das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden gleich Null ergeben`? LG Maggi
09. 2006, 20:01
therisen
Zitat:
Original von marci_
Die Gerade und die Ebene sind parallel, aber und linear unabhängig. Weil die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor der Ebene auf dem Richtungsvektor der Geraden senkrecht. Gruß, therisen
09. 2006, 20:07
Dankeschön, jetzt hab ich es verstanden
10. 2006, 23:49
@therisen:
aber wenn doch die gerade parallel zur ebene ist, dann müssen doch auch die beiden spannvektoren der ebene zum richtungsvektor der geraden parallel sein? die spannvektoren sind natürlich beide linear unabhängig, aber wenn ich doch zum beispiel eine ebene habe und eine dazu parallele gerade erstellen muss, dann kann ich doch als richtungsvekotr einfach einen spannvektor nehmen!? Anzeige
10. 2006, 23:57
Steve_FL
nein. Denn du kannst eine Ebene durch beliebig viele unterschiedliche Vektoren aufspannen, solange beide in der Ebene liegen und nicht parallel sind.
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2. 4. 5 Abstand Gerade - Ebene | mathelike Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Alles für Dein erfolgreiches Mathe Abi Bayern Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene Die Abstandsbestimmung einer Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u}\, ; \; \lambda \in \mathbb R\) von einer Ebene \(E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{B})\) mit \(g \parallel E\) lässt sich auf die Abstandsbestimmung eines beliebigen Punktes \(P \in g\) von der Ebene \(E\) zurückführen (vgl. 2. 4 Abstand Punkt - Ebene). Zweckmäßig wählt man den Aufpunkt \(A\) der Geradengleichung von \(g\). \(d(g;E) = d(A;E)\) mit \(g \parallel E\) Je nach Aufgabenstellung ist vorab der Abstandsbestimmung ggf. die Parallelität der Geraden \(g\) und der Ebene \(E\) nachzuweisen (vgl. 3. 2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene). Beispielaufgabe Gegeben seien die Gerade \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2{, }5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Ebene \(E \colon -2x_{1} +2x_{2} -5x_{3} + 4 = 0\) Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) in konstantem Abstand zur Ebene \(E\) verläuft und berechnen Sie den Abstand \(d(g;E)\).
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Wie gehe ich davor? 3 Punkte, die von der x1x3 Ebene und von der x2x3 Ebene den Abstand 2 haben? Bekomme ich hin. Aber wie bestimme ich, dass diese Punkte auch von der Ebene E: 2malx1+2malx2-1malx3=8 den Abstand 2 haben? Also von der x1x3 Ebene, x2x3 Ebene wäre ja P (+-2/+-2/x). Spielt ja keine Rolle, ob plus oder minus 2. Auf was muss ich achten, wenn ich die 3te Koordinate aufstelle, und wieso? Danke im voraus, liebe Grüße Moerci93
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Dazu schauen wir, ob die Normalenvektoren parallel sind. Anders als bei der Gerade wird also nicht auf Rechtwinkligkeit überprüft. $\vec{n_1}=r\cdot\vec{n_2}$
$\begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix}=r\cdot\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\Rightarrow r=-2$
Es existiert ein $r$: Die Vektoren sind Vielfache voneinander und daher parallel. Man kann jeden beliebigen Punkt der Ebene nehmen. Da man den Stützpunkt jedoch einfach ablesen kann, bietet sich dieser an. $d=$ $\left|\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2/\sqrt{24} \\ -2/\sqrt{24} \\ 4/\sqrt{24} \end{pmatrix} \right|$ $=|-\frac4{\sqrt{24}}|$ $\approx0, 82$
Gerade Und Ebene Parallel Space
im konkreten fall (z. b. ):
oder im beispiel von therisen nehme man {1/0/-1} für die
und zum ende: jeder vektor der ebene läßt sich aus dem/einem Paar (groß geschrieben, um verwechslungen zu vermeiden)von linear unabhängigen spannvektoren dieser ebene darstellen, das ist ja der sinn der definition, denkt
werner
Wann sind zwei ebenen parallel (Normalenvektor)? Hallo zusammen,
ich hätte eine Frage zur analytischen geometrie, welche ich im internet noch nicht beantwortet gefunden habe. Zumindest nicht für diesen Fall. In der mir vorliegenden aufgabe, sind zwei ebenen, eine in koordinaten- und die andere in parameterform gegeben. Ich soll zeigen, dass die eine ebene zur anderen parallel ist. ebenen sind genau dann parallel, wenn der Normalenvektor der einen Ebene auch der Normalenvektor der anderen Ebene ist, d. h wenn n orthogonal zu den spannvektoren von der anderen ebene ist. Der Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform lautet -> (2/-2/1), wenn ich nun jedoch, das Kreuzprodukt der anderen ebene berechne, so kommt nicht der selbe normalenvektor raus. vielen dank für antworten
Abstand Punkt Ebene: 3 Ebenen gegeben, bestimme 3 Punkte mit je einem Abstand von 2
Heii Leute,
ich verzweifle gerade bei einer Mathematikaufgabe, Pflichtteil Jahrgangsstufe 2 Gymnasium, daher ohne Hilfsmittel (Taschenrechner etc. ) Hoffe ihr könnt mir helfen..
Aufgabe: Bestimmen sie 3 Punkte, die von der x1x3 Ebene, x2x3 Ebene, und der Ebene: E: 2malx1+2malx2-1malx3=8 den Abstand 2 haben.