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Oft ist von einer Parabel neben dem Scheitelpunkt ein weiterer Punkt bekannt, und es soll die Gleichung der zugehörigen Funktion bestimmt werden. Dies kann auch indirekt in einer Anwendungsaufgabe oder einer Zeichnung geschehen. Diese Fälle gehen wir in Beispielen durch. Wie bestimmen ich den Scheitelpunkt aus zwei Punkten.? (Mathe, Mathematik, Wissen). Wie Sie die Gleichung aufstellen, wenn neben dem Scheitel der Streckfaktor gegeben ist, habe ich im entsprechenden Grundlagenartikel zur allgemeinen Parabel beschrieben. Punkte direkt gegeben
Dies ist der einfachste Fall, auf dem die weiteren Fälle aufbauen. Beispiel 1: Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(\color{#f00}{2}|\color{#1a1}{4})$ geht durch den Punkt $P(5|-5)$. Wie heißt ihre Gleichung? Lösung: Da der Scheitelpunkt bekannt ist, verwenden wir zum Aufstellen der Gleichung die Scheitelform:
$f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$. Der Streckfaktor $a$ ist zunächst unbekannt, während wir die Koordinaten des Scheitels einsetzen können:
$f(x)=a(x-\color{#f00}{2})^2+\color{#1a1}{4}$
Da der Punkt $P(\color{#a61}{5}|\color{#18f}{-5})$ auf der Parabel liegt, müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen.
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Wir haben uns bisher den Schnittpunkt von Parabel und Gerade berechnet. In diesem Beitrag erkläre ich, wie man die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufstellt, wenn man drei Punkte der Parabel kennt. Zuerst zähle ich die Reihenfolge in der Vorgehensweise beim Aufstellen von Parabelgleichungen mit drei vorgegebenen Punkten auf. Dann zeige ich das Aufstellen des Gleichungssystems und die Berechnung mittels des Additionsverfahrens. Und stelle ich ein interaktives Programm hierzu zur Verfügung. Danach zeige ich, wann man die Funktionsgleichung einer Parabel mit weniger Angaben bestimmen kann. Zuletzt zeige ich ein Anwendungsbeispiel. Wir kennen drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen. Daraus sollen wir die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen. Wie gehen wir nun vor? Vorgehensweise Aufstellen von Parabelgleichungen mit drei vorgegebenen Punkten: 1. Stellen Sie das Gleichungssystem auf. 2. Parabel: Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen - Online-Lehrgang. Lösen Sie dieses mit Hilfe des Gauß Algorithmus. 3. Bestimmen Sie die Koeffizienten von f(x) durch einsetzen.
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2 Seiten mit Übungsaufgaben zu den Themen:
Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen
Download Aufgaben (PDF)
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Für die linke Parabel ist dies möglich: $a=-2$. Bei der rechten Parabel ist die $y$-Koordinate des entsprechenden Punktes nicht abzulesen, sodass ich einen anderen Punkt markiert habe. Parabel mit 2 punkten bestimmen 2. Auch der Punkt $P(7|1)$ wäre eine gute Wahl. Die Gleichung der linken Parabel können wir mit $S_1(-3|1)$ also direkt notieren:
$f_1(x)=-2(x+3)^2+1$
Für die rechte Parabel setzen wir $S_2(4|-2)$ und den Punkt $P_2(1|1)$ wie oben ein und gehen beim Umformen etwas ökonomischer vor: wir rechnen $(1-4)^2=(-3)^2=9$ und addieren nebenbei 2, da die Rechnungen wegen "Punkt vor Strich" unabhängig voneinander sind. Wenn Sie unsicher sind, bleiben Sie bei der ausführlichen Form. $\begin{align*}1&=a\cdot (1-4)^2-2&&|+2\\3&=9a&&|:9\\ \tfrac 13&=a\\ f_2(x)&=\tfrac 13(x-4)^2-2\end{align*}$
Angaben in einer Anwendungsaufgabe gegeben
Beispiel 3: Eine am Mittelalter interessierte Gruppe hat ein kleines Katapult nachgebaut und möchte nun die parabelförmige Flugbahn eines Steins ermitteln, der mit diesem Gerät abgeworfen wird.
Am häufigsten ist der Fall der verschobenen Normalparabel, also $a=1$. Beispiel 1: Gesucht ist die Gleichung einer verschobenen Normalparabel, die durch die Punkte $A(\color{#f00}{-1}|\color{#1a1}{6})$ und $B(\color{#a61}{3}|\color{#18f}{-1})$ geht. Lösung: Eine verschobene Normalparabel hat wegen $a=1$ eine Gleichung vom Typ $f(x)=x^2+bx+c$. Parabel aus zwei Punkten (Beispiele). Die Koordinaten der Punkte müssen "die Gleichung erfüllen", also bei Einsetzen eine wahre Aussage ergeben. Das führt zu folgenden Bedingungen:
$\begin{alignat*}{6}&f(\color{#f00}{-1})=\color{#1a1}{6}\quad &&\quad &(\color{#f00}{-1})^2&\, +\, &b\cdot (\color{#f00}{-1})&\, +\, &c&\, =\, &\color{#1a1}{6}\\&\quad && \text{I}\quad & 1&\, -\, &b&\, +\, &c&\, =\, &6\\ &f(\color{#a61}{3})=\color{#18f}{-1}\quad &&\quad &\color{#a61}{3}^2&\, +\, &b\cdot \color{#a61}{3}&\, +\, &c&\, =\, &\color{#18f}{-1}\\ &\quad && \text{II}\quad &9&\, +\, &3b&\, +\, &c&\, =\, &-1\end{alignat*}$
Mit etwas Übung notieren Sie sofort die endgültigen Gleichungen I und II ohne den Zwischenschritt des ausführlichen Einsetzens.