Vervollständigung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Körper lässt sich für jede Betragsfunktion, genauer: für die von jeder Betragsfunktion (oder Bewertung) induzierte Metrik, vervollständigen. Die Vervollständigung von wird häufig mit bezeichnet. Archimedische Vervollständigungen der rationalen Zahlen sind und, nichtarchimedische sind für Primzahlen. Beim trivialen Betrag entsteht nichts Neues. Äquivalenz von Beträgen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind und Beträge (oder Bewertungen) eines Körpers, dann sind die folgenden drei Behauptungen gleichwertig:
Jede Folge, die unter eine Nullfolge ist, d. Ungleichungen mit betrag map. h., ist auch unter eine Nullfolge – und umgekehrt. Aus folgt. ist eine Potenz von, d. h. für alle mit einem festen. Die Betragsfunktionen der rationalen Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach dem Satz von Ostrowski repräsentieren die in diesem Artikel erwähnten Beträge, der eine archimedische (und euklidische) und die unendlich vielen je einer Primzahl zuzuordnenden nichtarchimedischen, alle Klassen von Beträgen (oder Bewertungen) der rationalen Zahlen.
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Veranschaulicht man die komplexen Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene, so entspricht diese Definition nach dem Satz des Pythagoras ebenfalls dem Abstand des zur Zahl gehörenden Punktes vom sogenannten Nullpunkt. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Folgende Zahlenbeispiele zeigen die Funktionsweise der Betragsfunktion. Gleichungen mit Absolutbetrag [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Aus folgt für reelle Zahlen oder. Ist jedoch, dann gibt es kein und kein mit. In einem weiteren Beispiel seien alle Zahlen gesucht, welche die Gleichung erfüllen. Man rechnet wie folgt:
Die Gleichung besitzt also genau zwei Lösungen für, nämlich 2 und −8. Ungleichungen mit Absolutbetrag [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für Ungleichungen können die folgenden Äquivalenzen verwendet werden:
Gesucht seien beispielsweise alle Zahlen mit der Eigenschaft. Dann rechnet man:
Als Lösung erhält man also alle aus dem Intervall. Allgemein gilt für reelle Zahlen, und:. Ungleichungen mit beträgen lösen. Betragsnorm und Betragsmetrik [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Betragsfunktion erfüllt die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität und ist damit eine Norm, genannt Betragsnorm, auf dem Vektorraum der reellen oder komplexen Zahlen.
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Hallo zusammen! Ich bin gerade dabei eine Aufgabe zur Reihenkonvergenz zu lösen und bin an einer Stelle angelangt, an der ich eine Ungleichung mit Betrag lösen muss. Die Ungleichung: \(6, 25 < x^{2} + 2 * |2, 5 - x| - 15, 25 < 24, 25\) für alle \(x\) aus \(R\) (reelle Zahlen). Ich habe bereits die beiden Fälle \(|2, 5 - x|\ge 0\) und \(|2, 5 - x| \le 0\) einzeln betrachtet. Für \(x_{1} = -0, 5\) und \(x_{2} = 2, 5\) ist der Term innerhalb der Ungleichung gleich \(6, 25\), für \(x_{3} = -3, 5\) ist die Ungleichung gleich \(24, 25\). Rechner für Gleichungen und Ungleichungen • Vereinfachung algebraischer Ausdrücke, Brüche und Funktionen. Somit habe ich ja "Randpunkte" verschiedener Intervalle. Meine Frage ist nun: wie muss ich weiter vorgehen um die Intervalle für \(x\) zu finden, für die diese Ungleichung gilt?
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Nullstelle [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die einzige Nullstelle der beiden Betragsfunktionen ist 0, das heißt gilt genau dann, wenn gilt. Dies ist somit eine andere Terminologie der zuvor erwähnten Definitheit. Verhältnis zur Vorzeichenfunktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für alle gilt, wobei die Vorzeichenfunktion bezeichnet. Da die reelle nur die Einschränkung der komplexen Betragsfunktion auf ist, gilt die Identität auch für die reelle Betragsfunktion. Die Ableitung der auf eingeschränkten Betragsfunktion ist die auf eingeschränkte Vorzeichenfunktion. Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die reelle Betragsfunktion und die komplexe sind auf ihrem ganzen Definitionsbereich stetig. Ungleichung lösen mit Betrag. Aus der Subadditivität der Betragsfunktion beziehungsweise aus der (umgekehrten) Dreiecksungleichung folgt, dass die beiden Betragsfunktionen sogar Lipschitz-stetig sind mit Lipschitz-Konstante:. Die reelle Betragsfunktion ist an der Stelle nicht differenzierbar und somit auf ihrem Definitionsbereich keine differenzierbare Funktion.
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Merke: Bei Multiplikation (oder Division) mit einer negativen Zahl wird das Ungleichheitszeichen umgekehrt. " < < " → \rightarrow " > > " " > > " → \rightarrow " < < " " ≤ \leq " → \rightarrow " ≥ \geq " " ≥ \geq " → \rightarrow " ≤ \leq " Beispiel: Lineare Ungleichung Finde die Lösungsmenge für folgende Ungleichung: 8 x + 7 ≤ 10 x − 13 8x+7\le10x-13 Strategie: Bringe alle x x auf eine Seite und alle Zahlen ohne x x auf die andere Seite der Ungleichung: Lösen von Bruchungleichungen Das Lösen von Bruchungleichungen ist deutlich komplizierter als das Lösen von linearen Ungleichungen. Ungleichungen mit betrag en. Ein Beispiel verdeutlicht die Komplexität: Um den Bruch loszuwerden, müsste man "über Kreuz multiplizieren" (also sowohl mit dem Nenner auf der linken als auch mit dem Nenner auf der rechten Seite multiplizieren). Hier müsste man aber beachten, wann die Nennerterme negativ werden, weil man dann das Ungleichheitszeichen umdrehen muss! Deshalb bräuchte es bei dieser Methode einige Fallunterscheidungen (also für welche x-Werte wird (x+2) kleiner Null und für welche x-Werte wird (x-3) kleiner Null) Um dies zu umgehen, befolgt man diese Strategie: Man bringt beide Brüche auf eine Seite und bildet den Hauptnenner.
Zusammenfassung: Ungleichungslöser, der eine Ungleichung mit den Details der Berechnung löst: Ungleichung ersten Grades, Ungleichung zweiten Grades. Ungleichungen lösen - lernen mit Serlo!. losen_ungleichung online
Beschreibung:
Die Funktion losen_ungleichung ermöglicht es, Ungleichungen zu lösen:
Sie kann verwendet werden, um eine Ungleichung des ersten Grades
oder eine Ungleichung des zweiten Grades zu lösen. In allen Fällen sind die Berechnungsschritte detailliert und das Ergebnis wird in genauer Form angegeben. Die Berechnungsmöglichkeiten des Ungleichungsrechners sind vielfältig, er kann eine
Ungleichung mit Brüchen lösen, eine Ungleichung, die Buchstaben enthält (literale Berechnung). Operatoren, die zur Lösung einer Ungleichheit verwendet werden können
Die Vergleichsoperatoren, die zur Lösung einer Ungleichheit verwendet werden sollen, sind die folgenden:
> größer
>= größer oder gleich
< kleiner
<= kleiner oder gleich
Die Lösung der Ungleichung ersten Grades online
Die Auflösung einer Ungleichung ersten Grades zu einem Unbekannten der Form a*x>b erfolgt sehr schnell,
wenn die Variable nicht mehrdeutig ist, geben Sie einfach die zu lösende Ungleichung ein und klicken Sie auf losen_ungleichung,
das genaue Ergebnis wird dann ausgegeben.