Für die Länge \(r\) des Zeigers ergibt sich
\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{Re^2+Im^2}\)
Wenn sich der Vektor im 1. oder 2. Quadranten befindet gilt für den Winkel \(φ\)
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{a}{r}\right)=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)\)
oder sonst
\(\displaystyle φ=arctan\left(\frac{b}{a}\right)=arctan\left(\frac{Im}{Re}\right)\)
Bei der Berechnung des Winkels muss berücksichtigt werden in welchem Quadranten sich der Vektor befindet. Betrachten wir dazu die folgende Abbildung:
Für die komplexe Zahl \(3 + 4i\) in der Abbildung oben ist der Betrag
\(|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)
Der Winkel ist
\(\displaystyle φ=arccos\left(\frac{Re}{|z|}\right)=arccos\left(\frac{3}{5}\right)=53. 1°\)
Für die komplexe Zahl \(3 - 4i\) ist der Betrag auch
\(|z|=\sqrt{3^2-4^2}=5\)
Die Berechnung des Winkels ergibt ebenfalls \(53. 1°\). In diesem Fall muss zu dem berechneten Winkel noch \(180°\) hinzu addiert werden um in den richtigen Quadranten zu gelangen. Komplexe Zahlen. Nach der Berechnung des Winkels \(φ\) mit Hilfe des Arcussinus muss immer eine Prüfung des Quadranten durchgeführt werden.
- Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
Beispiel:
Was ist bei folgenden komplexen Zahlen der Real- und Imaginärteil? a) $ 2+4i $ b) $ -4-5i $ und c) $ -4i+6 $
Antwort:
zu a): Realteil: $ 2 $ und Imaginärteil $ 4 $
zu b): Realteil: $ -4 $ und Imaginärteil $ -5 $
zu c): Realteil: $ 6 $ und Imaginärteil $ -4 $ (Achtung, hier ist die Reihenfolge vertauscht! ) $ \bbox[orange, 5px]{Wichtig} $
Das $i$ wird über $i^2$ definiert. Komplexe zahlen rechner polarform. Es gilt nämlich, dass $ i^2=-1 $ und daher $ i=\sqrt{-1} $
So sieht das Symbol der Komplexen Zahlen aus:
Definition (Potenzen von i):
$ \bbox[orange, 5px]{Wichtig} \ \ \ i^0=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
i^1=i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
i^2=-1 \\[14pt]
i^3= i^2 \cdot i=-1 \cdot i = -i \\[8pt]
i^4= i^2 \cdot i^2=-1 \cdot -1 = 1 \\[8pt]
i^5= i^4 \cdot i=1 \cdot i = i $
Dies wiederholt sich immer in einem Rhythmus von vier. Also: $ i = i^5 = i^9 = i^{13} $
Wie man mit ihnen rechnet:
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