Kennt man die Primfaktorzerlegung von und, so lässt sich daraus leicht der größte gemeinsame Teiler berechnen. Satz
Seien und die Primfaktorzerlegungen von und. Dann ist. Beweis
Da
und
ist offensichtlich ein gemeinsamer Teiler von und. Es bleibt zu zeigen, dass jeder weitere gemeinsame Teiler ein Teiler von ist. Rest vom Beweis fehlt noch. Ist und. Dann sind die Primfaktorzerlegungen von:
und der größte gemeinsame Teiler ist
Kleinstes gemeinsames Vielfaches [ Bearbeiten]
Die natürliche Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier natürlicher Zahlen und, wenn gilt:
Wenn ein (weiteres) gemeinsames Vielfaches von und von ist, so gilt. Man schreibt dann. Analog zum größten gemeinsamen Teiler kann man auch das kleinste gemeinsame Vielfache für mehr als zwei Zahlen definieren. Kleinstes gemeinsames Vielfaches und größter gemeinsamer Teiler hängen durch folgende Gleichung zusammen:
Primfaktorzerlegung folgt. Division mit Rest [ Bearbeiten]
Sind ganze Zahlen und mit gegeben, so gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen und mit und.
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Teiler Von 126
Erstellen Sie dann alle verschiedenen Kombinationen (Multiplikationen) der Primfaktoren und ihrer Exponenten, falls vorhanden. Andere Operationen dieser Art: (378; 714) =?... (300; 960) =? Online-Rechner: Berechnen Sie alle Teiler der eingegebenen Zahlen So berechnen Sie alle Teiler einer Zahl: Zerlegen Sie die Zahl in Primfaktoren. Dann multiplizieren Sie diese Primfaktoren, indem Sie alle möglichen Kombinationen zwischen ihnen bilden. Um die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu berechnen: Die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen sind alle Teiler des größten gemeinsamen Teilers, ggT. Zerlegen Sie den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren. Die zuletzt berechneten Teiler die gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 60 =? 21 mai, 14:28 CET (UTC +1) die gemeinsamen Teiler der Zahlen 1. 713. 084 und 0 =? 21 mai, 14:28 CET (UTC +1) die gemeinsamen Teiler der Zahlen 968. 142 und 0 =? 21 mai, 14:28 CET (UTC +1) die gemeinsamen Teiler der Zahlen 8. 424. 202 und 0 =? 21 mai, 14:28 CET (UTC +1) die Teiler der Zahl 96.
Teiler Von 420
Existenz: Sei die Menge aller nicht-negativen Zahlen der Form. Diese Menge enthält ein kleinstes Element. Für dieses gilt, da sonst das kleinere Element ebenfalls in liegen würde. Eindeutigkeit: Übung. heißt der ganzzahlige Quotient, der Rest der ganz-zahligen Division von durch. Im folgenden wird auch als geschrieben, also. Bemerkung:
Es gilt. Denn jeder gemeinsame Teiler von und teilt auch, und umgekehrt teilt jeder gemeinsame Teiler von und auch. Beispiele:
Euklidischer Algorithmus [ Bearbeiten]
Der moderne Euklidische Algorithmus wird mittels einer Division mit Rest ausgeführt. Er beginnt mit den Zahlen und deren größter gemeinsamer Teiler bestimmt wird. Also:, wie bei der Division mit Rest eingeführt, jedoch um einen Index ergänzt. Mit der Festlegung und ergibt sich bis zum Abbruchkriterium folgende Darstellung:
Der Divisor ist dann der größte gemeinsame Teiler. Der größte gemeinsame Teiler von und wird mit Euklidischen Algorithmus berechnet:
Also ist der größte gemeinsame Teiler von und.
Teiler Von 425
Wir sagen: 2 hoch 3. Zum Beispiel ist 12 ein Teiler von 120 – der Rest ist Null, wenn 120 durch 12 geteilt wird. Schauen wir uns die Primfaktorzerlegung beider Zahlen an und beachten Sie die Basen und die Exponenten, die bei der Primfaktorzerlegung beider Zahlen vorkommen: 12 = 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5 120 enthält alle Primfaktoren von 12, und alle Exponenten ihrer Basen sind höher als die von 12. Wenn "t" ein gemeinsamer Teiler von "a" und "b" ist, dann enthält die Primfaktorzerlegung von "t" nur die gemeinsamen Primfaktoren, die an den Primfaktorzerlegungen von "a" und "b" beteiligt sind. Wenn Exponenten beteiligt sind, ist der maximale Wert eines Exponenten für jede Basis einer Potenz, die in der Primfaktorzerlegung von "t" vorkommt, höchstens gleich dem Minimum der Exponenten derselben Basis, die in der Primfaktorzerlegung von auftritt Zahlen "a" und "b". Zum Beispiel ist 12 der gemeinsame Teiler von 48 und 360. Der Rest ist Null, wenn entweder 48 durch 12 oder 360 durch 12 dividiert wird.
Teiler Von 42 Van
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Primfaktoren
ggT
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Teilbarkeit
Teiler
Teilerfremdheit
(un)gerade
Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 72 Die gemeinsamen Teiler der Zahlen 42 und 72 sind alle Teiler ihres 'größten gemeinsamen Teilers'. Denken Sie daran Der Teiler einer Zahl A ist eine Zahl B, die, wenn sie mit einer anderen Zahl C multipliziert wird, die gegebene Zahl A ergibt. Sowohl B als auch C sind Teiler von A. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler. Befolgen Sie die beiden folgenden Schritte. Die Primfaktorzerlegung der Zahlen: Die Primfaktorzerlegung einer Zahl N = die Teilung der Zahl N in kleinere Zahlen, die Primzahlen sind. Die Zahl N ergibt sich aus der Multiplikation dieser Primzahlen. 42 = 2 × 3 × 7 42 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. 72 = 2 3 × 3 2 72 ist keine Primzahl, sondern eine zusammengesetzte Zahl. * Die natürlichen Zahlen, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind, heißen Primzahlen. Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst.
Teiler Von 42 Youtube
Der Exponent zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. 2 3 ist die Potenz und 8 ist der Wert der Potenz. Wir sagen: 2 hoch 3. Zum Beispiel ist 12 ein Teiler von 120 – der Rest ist Null, wenn 120 durch 12 geteilt wird. Schauen wir uns die Primfaktorzerlegung beider Zahlen an und beachten Sie die Basen und die Exponenten, die bei der Primfaktorzerlegung beider Zahlen vorkommen: 12 = 2 × 2 × 3 = 2 2 × 3 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2 3 × 3 × 5 120 enthält alle Primfaktoren von 12, und alle Exponenten ihrer Basen sind höher als die von 12. Wenn "t" ein gemeinsamer Teiler von "a" und "b" ist, dann enthält die Primfaktorzerlegung von "t" nur die gemeinsamen Primfaktoren, die an den Primfaktorzerlegungen von "a" und "b" beteiligt sind. Wenn Exponenten beteiligt sind, ist der maximale Wert eines Exponenten für jede Basis einer Potenz, die in der Primfaktorzerlegung von "t" vorkommt, höchstens gleich dem Minimum der Exponenten derselben Basis, die in der Primfaktorzerlegung von auftritt Zahlen "a" und "b".
Dieses Kapitel ist noch unter Konstruktion und kann Lücken und Fehler enthalten. Kapitel 2: Größter gemeinsamer Teiler
Überblick über das Kapitel:
größter gemeinsamer Teiler
→
kleinstes gemeinsames Vielfaches
↓
Euklidischer Algorithmus
Darstellung als Linearkombination
nachzuliefernder Beweis
Hat man eine ganze Zahl gegeben, so kann man eine Liste mit allen Teilern dieser Zahl erstellen. Hat man eine weitere ganze Zahl, zu der man ebenfalls eine solche Liste erstellt hat, so stellt sich die Frage nach Teilern, die in beiden Listen vorkommen, den gemeinsamen Teilern. Da jede Zahl teilt, gibt es immer solche gemeinsame Teiler, und die ist auch immer der kleinste der gemeinsamen Teiler. Wesentlich spannender ist die Frage nach dem größten gemeinsamen Teiler. Eine, in gewissem Sinne duale Eigenschaft zum größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, ist das kleinste gemeinsame Vielfache, welches wir uns kurz anschauen wollen, bevor wir dazu übergehen, uns zu fragen, wie man den größten gemeinsamen Teiler berechnet.
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