Hypergeometrische Verteilung
Was ist die Hypergeometrische Verteilung? Die hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Es wird von einer dichotomen Grundgesamtheit ausgegangen. Dieser Gesamtheit werden in einer Stichprobe zufällig Elemente nacheinander ohne Zurücklegen entnommen. Kurzgefasst: Man kann sich die hypergeometrische Verteilung einfach als Urne vorstellen, bei der Kugeln ohne Zurücklegen entnommen werden. Die mathematische Definition der Formel
Sei N die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit; M die Anzahl der Elemente, die für uns günstig sind; n sei die größe der Stichprobe (daher die Anzahl der Elemente, die wir "entnehmen" wollen); k die Anzahl der Elemente aus M, die in n enthalten sind. ist der Binomialkoeffizient. Mathematische Definitionen zu verstehen fällt für viele schwer. Sicherlich fragt ihr euch, was die einzelnen Buchstaben bedeuten und wie man das ganze verständlich umsetzten kann. Hier eine kleine zusammenfassung der Formel
Unser Lernvideo zu: Hypergeometrische Verteilung
Nun berechnen wir gemeinsam einen Beispiel dazu:
Aufgabe:
Es sind 14 Kugeln vorhanden, 5 rote, die die erfahrenen Personen repräsentieren, und 9 schwarze Kugeln, die die übrigen Kandidaten repräsentieren.
Hypergeometrische Verteilung? (Schule, Mathe, Mathematik)
Einführung
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Die hypergeometrische Verteilung kann für eine Zufallsgröße verwendet werden, wenn das zugehörige Zufallsexperiment wie folgt beschrieben werden kann:
Aus einer Menge mit Objekten, unter denen sich Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft befinden, werden Objekte ohne zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter Objekte mit der genannten Eigenschaft befinden, kann mit folgender Formel berechnet werden. Für den Erwartungswert und die Standardabweichung gilt:
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Aufgaben
Aufgabe 1
In einer Lostrommel befinden sich Gewinnlose und Nieten. Jemand zieht Lose aus der Trommel. a)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Keines der gezogenen Lose ist ein Gewinn. Nur der gezogenen Lose sind Gewinne. Höchstens der gezogenen Lose sind Nieten. b)
Wie viele Gewinne können unter den gezogenen Losen erwartet werden?
Beim Ziehen ohne Zurücklegen kann man meistens die sogenannte hypergeometrische Verteilung verwenden. Voraussetzung ist, dass man genau weiß, aus welcher Anzahl sich die einzelnen Gruppen zusammensetzen und wieviel Stück man aus jeder der vorhandenen Untergruppen ziehen will. (Standardbeispiel: In einer Urne sind viele Kugeln in mehreren Farben. Man muss genau wissen, wieviel von jeder Farbe vorhanden ist und man muss genau wissen, wieviel Kugeln von jeder Farbe gezogen werden soll. ) Die Formel setzt sich nur aus mehreren Binomialkoeffizienten zusammen. Standardbeispiele sind: Kugeln verschiedener Farben aus einer Urne entnehmen und Lotto. Die hypergeometrische Verteilung wendet man an, wenn es um Ziehen ohne Zurücklegen geht. Wenn man mehrere Gruppen hat und aus jeder dieser Gruppe soll eine bestimmte Anzahl von Elementen entnommen werden. Den Namen "hypergeometrische Verteilung" müssen Sie nicht kennen, aber die Vorgehenweise lohnt sich zu merken. Da man die Berechnung der Lotto-Wahrscheinlichkeit mit ebenfalls dieser Theorie durchführt, ist hierfür auch der Name "Lotto-Problem" gängig.
Hypergeometrische Verteilung -≫ Binomialverteilung
Momenterzeugende Funktion
Auch die momenterzeugende
Funktion lässt sich mittels der hypergeometrischen Funktion ausdrücken:
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Die wahrscheinlichkeitserzeugende
Funktion ist gegeben als
Beziehung zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Binomialverteilung
Im Gegensatz zur Binomialverteilung
werden bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht wieder in das
Reservoir zur erneuten Auswahl zurückgelegt. Ist der Umfang
der Stichprobe im Vergleich zum Umfang
der Grundgesamtheit relativ klein (etwa),
unterscheiden sich die durch die Binomialverteilung bzw. die hypergeometrische
Verteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten nicht wesentlich voneinander. In
diesen Fällen wird dann oft die Approximation durch die mathematisch einfacher
zu handhabende Binomialverteilung vorgenommen. Beziehung zur Pólya-Verteilung
Die hypergeometrische Verteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung
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Nun werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es ist von daher die Hypergeometrische Verteilung anzuwenden. n = 5 (Es werden 5 Personen für das Komitee ausgewählt)
N = 14 (Es stehen 14 Personen zur Auswahl)
M = 5 (Anzahl der erfahrenen Personen)
Gesucht die Wahrscheinlichkeit x = 3
Nun setzen wir unsere Zahlen in die Formel ein:
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei erfahrene Personen in das Komitee gelost werden, beträgt 17, 98%.
Aufgaben Zur Hypergeometrischen Verteilung - Lernen Mit Serlo!
c)
Statt werden nun doch nur Lose gezogen. Berechne mithilfe der hypergeometrischen Verteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich keine Niete darunter befindet. Gibt es einen anderen Rechenweg, der vielleicht sogar einfacher ist? Wenn ja, gib ihn an. Aufgabe 2
An deiner Schule wird für die Oberstufenschüler eine neue AG angeboten. Da es dabei einmal in der Woche zum nächstgelegenen See zum Waveboarden geht, möchten natürlich viele Schüler teilnehmen. Die Plätze sind aber auf begrenzt. Unter den Interessenten wird also ausgelost. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du für die AG ausgelost wirst. Dein Sportkurs besteht mit dir zusammen aus Schülern. Ihr habt euch alle für die AG angemeldet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr ausgelost werdet? Du hast dich gemeinsam mit Freunden angemeldet. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte von euch ausgelost wird? Aufgabe 3
Du willst dir gemeinsam mit fünf weiteren Freunden einen Film im Kino ansehen. Der Saal hat Sitzplätze, die letzte Reihe hat Sitzplätze.
Ein Beispiel für die praktische Anwendung der hypergeometrischen Verteilung
ist das Lotto:
Beim Zahlenlotto gibt es 49 nummerierte Kugeln; davon werden bei der Auslosung 6
gezogen; auf dem Lottoschein werden 6 Zahlen angekreuzt. gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, genau x =
0, 1, 2, 3, …, 6 "Treffer" zu erzielen. Wahrscheinlichkeit beim deutschen Lotto
in linearer Auftragung
in logarithmischer Auftragung
Ausführliches Rechenbeispiel für die Kugeln
Zu dem oben aufgeführten Beispiel der farbigen Kugeln soll die
Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass genau 4 gelbe Kugeln resultieren. Also. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus:
Anzahl der Möglichkeiten, genau 4 gelbe (und damit genau 6 violette)
Kugeln auszuwählen
geteilt durch
Anzahl der Möglichkeiten, genau 10 Kugeln beliebiger Farbe
auszuwählen
Es gibt
Möglichkeiten, genau 4 gelbe Kugeln auszuwählen. Möglichkeiten, genau 6 violette Kugeln auszuwählen. Da jede "gelbe Möglichkeit" mit jeder "violetten Möglichkeit" kombiniert
werden kann, ergeben sich
Möglichkeiten für genau 4 gelbe und 6 violette Kugeln.