Baumdiagramm | Ziehen ohne Zurücklegen by einfach mathe! - YouTube
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Lösung: Ziehen ohne Zurücklegen
3/8 * 2/7 ≈ 10, 71%. 3/8 * 2/7 + 5/8 * 3/7 = 37, 5%. Download MatheGrafix-Dateien
Lösung: Ziehen ohne Zurücklegen II. Aufgabe: Ein Würfel wird dreimal geworfen (Lösung mit Urnenmodell)
Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelt man dabei
keine Sechs? mindestens eine Sechs? genau eine Sechs? in den ersten beiden Würfen eine Sechs?? Diese Aufgabe ist ein Beispiel zu einem vereinfachtem Baumdiagramm (Ereignis – Gegenereignis): Bei jedem Wurf sind hierbei nur das Ereignis "Es fällt eine 6" und das Gegenereignis "Es fällt keine 6" dargestellt. Lösung mit Hilfe eines Baumdiagramms
"Keine Sechs" wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 125/216 ≈ 57, 87% gewürfelt (blauer Pfad). "Mindestens eine Sechs" ist das Gegenereignis von "Keine Sechs" und wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 125/216 ≈ 42, 13% gewürfelt (1-Ergebnis von Teilaufgabe a). "Genau eine Sechs" wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 25/216 + 25/216 + 25/216 ≈ 34, 72% gewürfelt (orange Pfade).
Ziehen Ohne Zurücklegen · Urnenmodell · [Mit Video]
14 In einer Urne befinden sich drei rote, zwei blaue und eine grüne Kugel. Es wird zweimal eine Kugel (ohne zurücklegen) gezogen und ihre Farbe notiert. Urne mit n = 6 Kugeln. Quelle: Wikipedia Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm. Notiere die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten: A: Keine der gezogenen Kugeln ist rot. B: Unter den gezogenen Kugeln ist mindestens eine blaue. C: Es werden zwei gleichfarbige Kugeln gezogen. D: Es werden mehr blaue Kugeln gezogen als rote. Löse Aufgabe a) und b), wenn die Kugel nach dem ersten Ziehen zurückgelegt wird. 15 Eine 1-Euro-Münze, von der wir annehmen, dass sie eine Laplace-Münze ist, wird 3mal geworfen. Liegt die Eins oben, so werten wir den Wurf als 1, andernfalls als 0. Zeichne einen Baum zu diesem Experiment. Eine Zufallsvariable A ordnet jedem Ergebnis aus dem Experiment die Summe der Zahlen zu. Dem Ereignis Zahl-Kopf-Kopf mit dem Wert 100 wird also die Summe 1+0+0 =1 zugeordnet. Welche möglichen Summen treten auf?
Baumdiagramme
Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für eine blaue und eine rote Kugel. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für eine rote und blaue sowie für eine blaue und rote Kugel mit der Pfadregel bestimmen. Warum? Weil die Reihenfolge der Ziehung egal ist. Es geht darum insgesamt eine blaue und eine rote Kugel zu ziehen. Die gesamte Wahrscheinlichkeit, eine rote und blaue Kugel zu ziehen, wird dann mit der Summenregel bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen beträgt:
P(R, B) + P(B, R) &= 0, 6 \cdot 0, 4 + 0, 4 \cdot 0, 6 \\ & = 0, 24+0, 24 = 0, 48 = 48\%
Vertiefe dein Wissen und schau das Lernvideo zur 1. und 2. Pfadregel
1. Pfadregel, Gegenwahrscheinlichkeit, Stochastik, Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm
Es gibt insgesamt fünf Kugeln von denen 2 schwarz sind. Die Wahrscheinlichkeit beim ersten Zug eine weiße Kugel zu ziehen betr\ägt $P\left(\textrm{weiss}\right)=\frac{3}{5}$, denn von unseren insgesamt fünf Kugeln sind drei Kugeln weiß. Da wir unsere erste gezogene Kugel in jedem Fall wieder zurück in die Urne legen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug nicht, denn die Voraussetzungen sind wieder die gleichen wie vor dem ersten Zug. Dazu wollen wir uns die folgenden Fragen angucken und beantworten:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen? Zuerst überlegen wir uns welcher Pfad das gefragte Ereignis repräsentiert. Wir werfen einen Blick auf unseren Baum und sehen, dass der oberste Pfad von links nach rechts gesehen unser Ereignis schwarz, schwarz darstellt. Wir berechnen unsere Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades mit der Pfadmultiplikationsregel. Für unseren Fall: $P\left(schwarz\mathrel{\left|\vphantom{schwarz schwarz}\right. }schwarz\right)=$ $\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}$ $=$ $\frac{4}{25}$
Die Wahrscheinlichkeit zwei schwarze Kugeln zu ziehen liegt bei 4/25 bzw. 16%.
Es wird nicht zurückgelegt, deswegen herrschen vor dem zweiten Zug veränderte Bedingungen. Eine weiße Kugel wurde bereits gezogen, deswegen befinden sich zum jetzigen Zeitpunkt insgesamt nur noch 3 weiße Kugeln in der Urne. Selbstverständlich verringert sich auch die Gesamtzahl der Kugeln von $10$ auf $9$ Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit beim zweiten Zug ebenfalls eine weiße Kugel zu ziehen beträgt also $\frac{3}{9}$. Jetzt müssen wir nach der Pfadmultiplikationsregel beide Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren: $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15} $. Die Wahrscheinlichkeit hintereinander zwei weiße Kugeln zu ziehen beträgt $\frac{2}{15}$
Urnenmodelle und Pfadregeln in der Stochastik, Wahrscheinlichkeit | Mathe by Daniel Jung