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Aufgabe: Gegeben sei die Zerlegung \( Z_{n}=\left\{0, \frac{1}{n}, \ldots, \frac{n-1}{n}, 1\right\} \) des Intervalls \( [0, 1] \) und die Funktion \( f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=2^{x} \). a) Berechnen Sie die Untersumme von \( f \) bezüglich \( Z_{n} \). b) Berechnen Sie die Obersumme von \( f \) bezüglich \( Z_{n} \). c) Berechnen Sie das Riemann-Integral \( \int \limits_{0}^{1} 2^{x} d x \), indem Sie \( n \) gegen unendlich gehen lassen. a&b. ) Ich habe leider nicht genau verstanden, wie man die ober- und untersummer berechnet. Könnt ihr mir vlt ausfühlich erklären wie man es berechnet? Unter- und Obersumme als Herleitung zur Integralrechnung - GRIN. c) habe ich leider auch nicht verstanden:(
Gefragt
1 Mai 2021
von
1 Antwort
Untersumme Für jedes \(k\) von \(0\) bis \(n-1\) wird im Intervall \(\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]\) der niedrigste Funktionswert bestimmt und mit der Inrtervallbreite multipliziert. Anschließend werden die so berechneten Werte addiert. Obersumme Für jedes \(k\) von \(0\) bis \(n-1\) wird im Intervall \(\left[\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}\right]\) der höchste Funktionswert bestimmt und mit der Inrtervallbreite multipliziert.
Integral Ober Und Untersumme 2
Untersumme (grün) und Obersumme (grün plus lavendel) für eine Zerlegung in vier Teilintervalle
Das Integrationsintervall wird hierbei in kleinere Stücke zerlegt, der gesuchte Flächeninhalt zerfällt dabei in senkrechte Streifen. Integral ober und untersumme map. Für jeden dieser Streifen wird nun einerseits das größte Rechteck betrachtet, das von der -Achse ausgehend den Graphen nicht schneidet (im Bild grün), und andererseits das kleinste Rechteck, das von der -Achse ausgehend den Graphen ganz umfasst (im Bild jeweils das grüne Rechteck zusammen mit der grauen Ergänzung darüber). Die Summe der Flächeninhalte der großen Rechtecke wird als Obersumme, die der kleinen als Untersumme bezeichnet. Kann man durch geeignete, ausreichend feine Unterteilung des Integrationsintervalles den Unterschied zwischen Ober- und Untersumme beliebig klein machen, so gibt es nur eine Zahl, die kleiner oder gleich jeder Obersumme und größer oder gleich jeder Untersumme ist, und diese Zahl ist der gesuchte Flächeninhalt, das riemannsche Integral.
Die Integrationsgrenzen lassen sich mit der Maus verschieben, es werden vertikale Orientierungsstriche eingeblendet, wenn man mit der
Maus in deren Nhe kommt, und der Mauszeiger verndert seine Form. Die Aufteilung der Fenster bzw. die Gre der Plotfelder lt sich verndern, wenn man unterhalb der rechten unteren Ecke des groen
Plotfensters mit der Maus nach links oder rechts zieht. Der Mauszeiger wird dabei zu ↔. Bei den echten Ober- bzw. Untersummen mu ja in jedem Abschnitt ein eventuelles lokales Extremum berechnet und gegebenenfalls
beachtet, d. dem jeweils relevanten Randwert vorgezogen werden. Integration mit Ober- und Untersummen, Riemann-Integral. Das bringt einigen Rechenaufwand mit sich, der aus Grnden der Praktikabilitt (Geschwindigkeit)
mglichst klein gehalten werden mu: Insbesondere hier keine Garantie fr hundertprozentig richtige Werte...! Mit den Buttons [/2] und [·2] fr Verdoppelung bzw. Halbierung der Teilungen kann man die Verbesserung der Annherung am
anschaulichsten studieren. brigens ist diese Seite die erste neue nach immerhin fnf Monaten der Unlust (generell und spezifisch).