Bei \$x_2=2\$ liegt ein Vorzeichenwechsel von - nach + vor, also hat f an dieser Stelle ein Minimum. Zu b)
\$f''(x_1)=f''(0)=-6 < 0 =>\$ Rechtskurve von \$f\$, also Maximum bei \$x_0=0\$
\$f''(x_2)=f''(2)=6 > 0 =>\$ Linkskurve von \$f\$, also Minimum bei \$ x_1=2\$
Da in der Aufgabe nach den Extrempunkten gefragt ist, muss man noch den jeweiligen y-Wert bestimmen:
\$f(x_1)=f(0)=4\$ und \$f(x_2)=f(2)=0\$. Somit liegen ein Hochpunkt H(0/4) und ein Tiefpunkt T(2/0) vor. Zur Kontrolle hier das Schaubild der Funktion und der ersten beiden Ableitungen:
Figure 6. Funktion f mit erster und zweiter Ableitung
Hallo,
warum gibt es beim Berechnen von Wende- und Extrempunkte hinreichende und notwendige Bedingungen? Also warum werden diese Bedingungen überhaupt in hinreichend und notwendig eingeteilt? Ich erkläre es mal anhand von Extrempunkten:
Sei f:(a, b) -> lR eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion auf dem offenen Intervall (a, b) in lR und x in (a, b). Dann gilt:
(1) Falls f in x ein lokales Extremum besitzt, so ist f'(x) = 0. Sei nun f'(x) = 0, dann gilt:
(2) Falls f''(x) < 0, so hat f in x ein Maximum. (3) Falls f"(x) > 0, so hat f in x ein Minimum. Also aus dem Vorliegen eines Extremums in x folgt wegen (1) also immer, dass f' in x verschwindet. f'(x) = 0 ist daher notwendig für das Vorliegen eines Extremums. Deswegen sagen wir: f'(x) = 0 ist eine notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines Extremums von f in x. Allerdings ist die Bedingung f'(x) = 0 nicht hinreichend für das Vorlegung eines Extremums von f in x, wie z. B. f(x):= x^3 zeigt. In diesem Fall ist f'(0) = 0, aber f besitzt in 0 kein Extremum.