Das Prinzip von Cavalieri (auch bekannt als der Satz des Cavalieri oder Cavalierisches Prinzip) ist eine Aussage aus der Geometrie, die auf den italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri zurückgeht. Allgemeines [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Das Prinzip von Cavalieri besagt:
Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn alle ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in gleichen Höhen den gleichen Flächeninhalt haben. Cavalieri-Prinzip - Geometrie einfach erklärt!. [1]
Eine andere Formulierung lautet:
Liegen zwei Körper zwischen zueinander parallelen Ebenen sowie und werden sie von jeder zu diesen parallelen Ebene so geschnitten, dass gleich große Schnittflächen entstehen, so haben die Körper das gleiche Volumen. Eine einfache Veranschaulichung der Idee liefert etwa ein Block aus quadratischen Notizzetteln, die zu einer Schraube verdreht aufeinanderliegen: Er hat dasselbe Volumen wie der Quader, der sich bei normalem Stapeln ergibt. Für die Anwendung des Cavalieri-Prinzips können die Zettel des verdrehten Stapels durchaus in Form und Größe variieren.
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In der modernen theoretischen Herangehensweise wird der Bezug zwischen Integral und Flächeninhalt bzw. Volumen jedoch typischerweise anders hergestellt; das Prinzip von Cavalieri ist dabei weniger wichtig. Bezug zur Maßtheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Satz von Cavalieri in der oben beschriebenen elementaren Form ist ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Satzes, welcher wiederum ein Spezialfall des Satzes von Fubini ist:
Sei messbar. Dann sind auch und für fast alle bzw. messbar (über bzw. Satz des Cavalieri - Informatives. ) und es gilt
bzw.,
wobei das -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumen) bezeichne. Insbesondere gilt:
Ist ebenfalls messbar und gilt für fast alle, so ist. Entsprechendes gilt für und. Eine analoge Aussage gilt für beliebige Produktmaße. Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ Diese Bedingung beinhaltet auch, dass die beiden Körper dieselbe Höhe haben. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
HTML5-App zum Cavalieri-Prinzip von Walter Fendt
17. 2005, 18:41
Oh es ist doch ein gleichschenkliges Dreieck die untere Kathete ist genau so groß wie h aber ich weiß wirklich nicht wie ich das rechnen soll? 17. 2005, 18:46
aaaalso
pythagoras:
und du weißt
jetzt geschickt in (1) einsetzen:
eine gleichung, eine unbekannte - dass sollte gehen. Anzeige
17. 2005, 18:55
Das muss man doch überhaupt nicht rechnen! Also h müsste 0, 05m sein! Damit ist das Volumen bei b) 2, 77088472m! Satz des cavalieri aufgaben du. 18. 2005, 17:27
*hust*