Zahlenfolgen, bei denen die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist, heißen arithmetische Folgen. Es gilt für sie a n + 1 − a n = d a_{n+1}-a_n=d für ein festes d ∈ R d\in\domR. Damit lässt sich für eine arithmetische Zahlenfolge immer eine Rekursionsformel der Form
a n + 1 = a n + d a_{n+1}=a_n+d (1)
angeben. Beispiel
Sowohl die Folge der geraden als auch der ungeraden natürlichen Zahlen sind arithmetische Zahlenfolgen, wobei für beide d = 2 d=2 gilt. Arithmetisch-geometrische Folgen: Unterricht und Übungen - Fortschritt in Mathematik. Ihre gemeinsame Rekursionsformel ist a n + 1 = a n + 2 a_{n+1}=a_n+2. (2)
Sie unterscheiden sich nur durch das Anfangsglied, a 0 = 0 a_0=0 für gerade und a 0 = 1 a_0=1 für die ungeraden Zahlen. Der Name arithmetische Folge rührt daher, dass jedes Folgenglied arithmetisches Mittel seines Vorgängers und seines Nachfolgers ist:
a n = a n − 1 + a n + 1 2 a_n=\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}} 2 (3)
Es gilt a n = a n − 1 + d a_n=a_{n-1}+d also a n − d = a n − 1 a_n-d=a_{n-1} und a n + 1 = a n + d a_{n+1}=a_n+d. Addiert man diese beiden Gleichungen, erkennt man, dass (3) gilt.
Deutsche Mathematiker-Vereinigung
Ziel dieses Artikels ist es, ein systematisches Verfahren zur Lösung arithmetisch-geometrischer Folgen zu erläutern. Sie wollen mehr wissen? Lass uns gehen! Dieses Konzept ist am Ende der High School oder zu Beginn der Vorbereitung (insbesondere zur Demonstration) erschwinglich. Voraussetzungen Arithmetische Folgen Geometrische Sequenzen Bestimmung Eine arithmetisch-geometrische Folge ist eine wiederkehrende Folge der Form: \forall n \in \N, \ u_{n+1} = a\times u_n + b Avec: a ≠ 1: Sonst ist es a arithmetische Progression b ≠ 0: Andernfalls ist es a geometrische Folge Auflösung und Formel So lösen Sie arithmetisch-geometrische Folgen. Explizite Formeln für arithmetische Folgen (Artikel) | Khan Academy. Wir suchen einen Fixpunkt. Das heißt, wir gehen davon aus \forall n \in \N, \u_n = l Lösen wir also die Gleichung Was uns gibt: \begin{array}{l} l = a\times l +b\\ \Leftrightarrow l - a\times l = b \\ \Leftrightarrow l \times (1-a) = b \\ \Leftrightarrow l = \dfrac {b}{1-a}\end{array} Wir werden dann fragen, was wir eine Hilfssequenz nennen. Wir führen die Folge v ein n definiert von Sagen wir v n abhängig von n.
Explizite Formeln Für Arithmetische Folgen (Artikel) | Khan Academy
Zur Erinnerung: Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge (a n), wenn es zu jedem >0 einen Index N gibt, so dass für alle n>=N gilt: a a n − < . 5 Sei q eine reelle Zahl z wischen 0 und 1 (0
Arithmetisch-Geometrische Folgen: Unterricht Und Übungen - Fortschritt In Mathematik
Zeigen wir dazu zunächst, dass es sich um eine geometrische Folge handelt: \begin{array}{l} v_{n+1} = u_{n+1}-l \\ v_{n+1} = a \times u_n+bl \\ v_{n+1} = a \times u_n+b-\dfrac{b}{1-a} \\ v_{n+1} = a \times u_n+\dfrac{b\times(1-a)-b}{1-a} \\ v_{ n+1} = a \times u_n+\dfrac{-ab}{1-a} \\ v_{n+1} = a\times \left( u_n-\dfrac{b}{1-a} \right) \\ v_{n+1} = a\times \left( u_n-l \right)\\ v_{n+1} = a\times v_n\\ \end{array} v n ist also eine geometrische Folge des Verhältnisses a.
Arithmetische Folgen || Oberstufe ★ Übung 1 - Youtube
Wir haben: v_n = 2^n v_0=2^n(u_0+1) = 6\times 2^n Und schließlich bekommen wir dich n: \begin{array}{l} u_n = v_n-1 \\ u_n= 6\times 2^n -1 \end{array} Und um arithmetisch-geometrische Folgen zu lösen, ist es immer diese Methode! Man muss nur aufpassen, dass es nicht nur eine arithmetische Folge oder eine geometrische Folge ist. Trainings-Einheiten Übung 1 – Ab Libanon ES/L 2013 Abitur Wir betrachten die Folge (u n) definiert durch u 0 =10 und für jede natürliche Zahl n, u n + 1 = 0, 9u n +1, 2 Wir betrachten die Folge v n für jede natürliche Zahl n durch v definiert n = u n -12 Beweisen Sie, dass die Folge (V n) ist eine geometrische Folge, deren erster Term und Grund angegeben werden. ausdrücken v n abhängig von n. Leiten Sie das für jede natürliche Zahl n: u ab n = 12-2 × 0, 9 n. Bestimme den Grenzwert der Folge (V n) und folgere die der Folge (u n). Übung 2 Lass dich n) die durch u definierte Folge 0 = 4 und u n + 1 = 0, 95 u n + 0, 5 Express u n abhängig von n Leite seine Grenze ab.
Aus der Schulzeit des bedeutenden deutschen Mathematikers CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) ist Folgendes überliefert: Der Lehrer, der nebenbei Imkerei betrieb, benötigte Zeit zum Einfangen eines Bienenschwarmes. Deshalb stellte er seinen Schülern der Rechenklasse eine Aufgabe, um sie hinreichend lange zu beschäftigen, sie sollten die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Der Lehrer hatte die Aufgabe gerade formuliert und wollte gehen, da rief bereits der neunjährige GAUSS mit 5050 das richtige Ergebnis. GAUSS hatte nicht wie seine Mitschüler brav 1 + 2 + 3 +... gerechnet, sondern einfach überlegt, dass die Summen 100 + 1, 99 + 2, 98 + 3 usw. jeweils 101 ergeben und dass man genau 50 derartige Zahlenpaare bilden kann, womit sich als Ergebnis 50 ⋅ 101 = 5050 ergibt. Damit hatte er im Prinzip die Summenformel der arithmetischen Reihe entdeckt. Eine arithmetische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz d zwischen zwei benachbarten Gliedern immer gleich ist, d. h., dass für alle Glieder der Folge gilt: a n = a n − 1 + d Beispiele: ( 1) 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29... d = 4 ( 2) 20; 17; 14; 11; 8; 5... d = − 3 ( 3) 2, 1; 2, 2; 2, 3; 2, 4; 2, 5; 2, 6; 2, 7... d = 0, 1 ( 4) 1; 0, 5; 0; − 0, 5; − 1; − 1, 5; − 2... d = − 0, 5 ( 5) 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6... d = 0 Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes a 1 ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt: a n = a 1 + ( n − 1) d