Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt
das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen,
wobei die erste Größe von der zweiten abhängt. In der Analysis
verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer
Funktion zu definieren. In der numerischen
Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen
und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion ( Numerische
Differentiation) benutzt. Definition
Veranschaulichung
des Differenzenquotienten: Er entspricht der Steigung der blauen
Geraden
Ist
eine reellwertige
Funktion, die im Bereich
definiert ist, und ist,
so nennt man den Quotienten
Differenzenquotient von
im Intervall. Schreibt man
und,
dann ergibt sich die alternative Schreibweise. Online-LernCenter |SCHÜLERHILFE. Setzt man,
also,
so erhält man die Schreibweise. Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von
durch die Punkte
und. Für
bzw.
wird aus der Sekante eine Tangente
an der Stelle.
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2 Antworten
Mit dem Differenzenquotienten berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten eines Graphen. Differenzenquotient - einfach erklärt. Der Differenzenquotient wird auch Differenzialquotient (alte Schreibweise Differentialquotient) genannt, wenn die Differenz der x-Werte sehr klein wird (also die Geschichte mit dem limes)) Habt ihr das nicht in der Schule durchgenommen? Das müsste dir dein Lehrkörper eigentlich erklärt haben. Oder hast du nicht aufgepasst? Beantwortet
14 Jan 2021
von
dagobertduck
Mit dem Differenzenquotient kann man die Steigung einer Geraden bestimmen, wenn zwei Punkte gegeben sind. Der Differenzenquotient wird auch verwendet um die Ableitung [ mehr dazu] einer Funktion an einer Stelle zu ermitteln. Herleitung des Differenzenquotienten Gegeben: P ( x 1 | y 1) und Q ( x 2 | y 2) y 1 = m ⋅ x 1 + t y 2 = m ⋅ x 2 + t Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt: y 1 – y 2 = m ⋅ x 1 – m ⋅ x 2 Daraus ergibt sich: m = y 1 - y 2 x 1 - x 2 Da man die y-Werte einer Funktion auch Funktionswerte nennt, kann man auch schreiben: m = f ( x 1) - f ( x 2) x 1 - x 2 Beispiel: Steigung einer Geraden mit zwei gegeben Punkten Differenzenquotient für einfache Funktionstypen
Was Ist Der Differenzenquotient English
Beispiele für den Differenzenquotient Angenommen, wir haben die eine Funktion f mit dieser Funktionsgleichung: Für diese Funktion, wollen wir die Steigung zwischen den beiden Punkten (2, f(2)) und (5, f(5)) berechnen. Einsetzen der Werte in den Differenzenquotienten ergibt: Die Gleichung für die zugehörige Sekante lautet: Es handelt sich dabei also um eine Gerade mit der Steigung 7 und dem y-Achsenabschnitt -13.
Der Differenzialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:
$\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$! Merke
Der Differenzialquotient (auch Ableitung) bezeichnet die Steigung an einem bestimmten Punkt einer Funktion. Geometrisch gedeutet ist der Differenzialquotient die Steigung der Tangenten eines Punktes. Dazu betrachtet man die Sekante und lässt den Abstand der beiden Punkte unendlich klein werden bis man eine Tangente erhält. Beispiel
Bestimme die Steigung der Funktion $f(x)=x^2$ an der Stelle $x_0=1$ mit dem Differenzialquotient. Was ist der differenzenquotient youtube. Einsetzen
$\lim\limits_{x \to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}}$ Für $x_0$ kann $1$ und für $f(x)$ kann $x^2$ eingesetzt werden
$\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-f(1)}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1^2}{x - 1}}$ $=\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$
Bruch auflösen
Der Bruch muss zuerst aufgelöst werden, denn, wenn man 1 für $x$ einsetzen würde, ergibt der Nenner $0$ (Division durch 0 nicht erlaubt! ). $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{x^2-1}{x - 1}}$ In diesem Fall ist es am einfachsten den Bruch umzuformen und zu kürzen.
Was Ist Der Differenzenquotient
Falls dies nicht geht, muss man Polynomdivision anwenden. $\lim\limits_{x \to 1}{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}}=\lim\limits_{x \to 1}{(x+1)}$
$x_0=1$ für $x$ einsetzen
Jetzt lässt man $x$ gegen 1 laufen und erhält die Steigung. $\lim\limits_{x \to 1}{(\overbrace{x}^{\to 1}+1)}=1+1=2$
i
Tipp
Um sich das komplizierte Rechnen mit dem Grenzwert und dem Differenzialquotienten zu ersparen, gibt es die Ableitungsfunktion.
Die Theorie solcher Figuren ist hochentwickelt, insbesondere wenn man dabei mit komplexen Zahlen rechnet, was die Theorie einfacher, aber die Vorstellung davon viel komplizierter macht. Die Hodge-Vermutung ist dabei eine technisch-schwierige, aber wichtige Frage: kann man die Unterstrukturen solcher Figuren wieder durch Polynomgleichungen beschreiben? Für niedrig-dimensionale Figuren (die wir uns vorstellen können) ist das richtig, aber die allgemeine Form der Hodge-Vermutung ist offen. Und es kann gut sein, dass Professor Hodge da nicht Recht behält.