Lösung 2
Zunächst können von der Geraden die Vektoren betrachtet werden. Am Richtungsvektor ist erkennbar, dass dieser nicht in -Richtung zeigt, es gibt also nur zwei Spurpunkte. Eingesetzt in die Geradengleichung ergibt sich der Schnittpunkt mit der Koordinatenebene:
Veranschaulichung Durchstoßpunkt Gerade Ebene
Nochmal zusammenfassend dargestellt, kann eine Gerade bis zu drei Spurpunkte mit den Koordinatenebenen haben:
Spurpunkte Beispiel S3
Spurpunkte Beispiel S1
Spurpunkte Beispiel S2
Spurpunkte Beispiel drei Schnittpunkte
Abgrenzung zu einer Spurgerade
So wird in der analytischen Geometrie die Schnittgerade zwischen einer Ebene im Raum und einer Koordinatenebene bezeichnet. Während ein Spurpunkt der Schnitt einer Gerade mit einer Koordinatenebene ist, ist eine Spurgerade der Schnitt einer Ebene mit einer Koordinatenebene. Weiter lernen mit SchulLV-PLUS! Durchstoßpunkt berechnen | Mathelounge. Jetzt freischalten
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Durchstoßpunkt Gerade Ebene Berechnen
Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 2) +r ( 1) 3 0 1 3 und E: x= ( 3) +r ( 2) +s ( 3) 4 0 0 1 1 4 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 2) +r ( 1) = ( 3) +s ( 2) +t ( 3) 3 0 4 0 0 1 3 1 1 4 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 +r = 3 +2s +3t 3 = 4 1 +3r = 1 +s +4t Das Gleichungssystem löst man so: r -2s -3t = 1 0 = 1 3r -1s -4t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -2s -3t = 1 0 = 1 5s +5t = -3 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -2s -3t = 1 5s +5t = -3 0 = 1 ( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht) dritte Zeile: 0t = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Durchstoßpunkt gerade ebene das. Also gibt es keine Schnittpunkte. Die Gerade ist parallel zu der Ebene. Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt? Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel:
Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 3) +r ( 1) 2 7 4 3 und E: x= ( 4) +r ( 2) +s ( -1) 9 6 1 7 1 2 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 3) +r ( 1) = ( 4) +s ( 2) +t ( -1) 2 7 9 6 1 4 3 7 1 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 +r = 4 +2s -1t 2 +7r = 9 +6s +t 4 +3r = 7 +s +2t So formt man das Gleichungssystem um: r -2s +t = 1 7r -6s -1t = 7 3r -1s -2t = 3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Durchstoßpunkt Ebene Gerade
Die Geraden sind also die Mantellinien und deren Schnitte mit die gesuchten Schnittpunkte (Durchdringungspunkte). Im Beispiel erhält man zunächst die Grundrisse und als Schnittpunkte der zugehörigen Ordner mit die Aufrisse. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1, 5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 35, 73, 74. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 34, 86, 87. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 70, 230. C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Abstandsberechnungen Punkt-Gerade und Punkt-Ebene – Friedrich-Schiller-Gymnasium. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 92
Durchstoßpunkt Gerade Ebene In French
Den Stützvektor bei Geraden oder Spurpunkt bei Ebenen.
Durchstoßpunkt Gerade Ebene Das
Beispiel 3 Gegeben ist die Gerade $$ g\colon\; \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Berechne den Spurpunkt $S_3$. Der Spurpunkt $S_3$ ist der Schnittpunkt der Gerade mit der $x_1x_2$ -Ebene. Die $x_3$ -Koordinate von $S_3$ ist gleich Null: $S_3(? Durchstoßpunkt gerade ebene bio. |? |0)$. $\boldsymbol{x_3 = 0}$ in die dritte Zeile der Geradengleichung einsetzen, um $\boldsymbol{\lambda}$ zu berechnen $$ 4 - \lambda = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = 4 $$ $\boldsymbol{\lambda}$ in die Geradengleichung einsetzen, um den Spurpunkt zu berechnen $$ g\colon\; \vec{s_3} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Der Spurpunkt $S_3$ hat die Koordinaten $(5|4|0)$. Zurück
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den Durchstoßpunkt S! Die Aufgabe vereinfacht sich extrem, wenn die Ebene nicht in Parameterform, sondern in Koordinatenform gegeben ist. Dann lsst sich nmlich aus der Geradengleichung
zeilenweise ein Ausdruck fr x 1, x 2, x 3 entnehmen und in E einsetzen. Man erhlt nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Je nach Anzahl der Lsungen hat man dann den Fall "liegt in" (unendlich viele Lsungen), "durchstt in" (genau eine Lsung) oder "verluft echt parallel" (keine Lsung). Beispiele
Überprüfe die Lage der Geraden g und Ebene E
und
Lösung
1. Durchstoßpunkt gerade ebene in french. Schritt
Beim Rechnen ohne Determinanten würde man die beiden
gegebenen Gleichungen gleichsetzen und je nach Anzahl der Lösungen entscheiden,
welcher Fall vorliegt. Bei unendlich vielen Lösungen ist g in E, bei 1 Lösung
schneidet g die Ebene E, bei keiner Lösung verläuft die Gerade g parallel zu E. Beim Rechnen mit Determinanten beginnt man zunächst genauso:
Um die Cramerscher Regel anwenden zu können, wird das
Minuszeichen vor t in den Vektor rein gezogen und man erhält:
Dieses lineare Gleichungssystem entspricht
Damit ist zunächst die Determinante
zu bestimmen.
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